จงหาค่าลิมิตของ sin(9x)/cot(12x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   เข้าใจว่าทำไมการแทนค่าตรง ๆ จึงติดขัด ที่ $x=0$ ตัวเศษ $\sin(9x)$ ลู่เข้าสู่ $0$ ขณะที่ $\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ ระเบิดขึ้น ผลหารรูป $0/\infty$ ไม่ใช่รูปแบบยังไม่กำหนด แต่โคแทนเจนต์บังข้อเท็จจริงนี้ไว้ จึงควรเขียนใหม่ก่อนตัดสินใจอะไร

2. 2

   แทนโคแทนเจนต์ด้วยไซน์และโคไซน์ ใช้ $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ การหารด้วย $\cot(12x)$ ก็เหมือนการคูณด้วยส่วนกลับของมันคือ $\tan(12x)$ $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

3. 3

   ตรวจว่าตัวประกอบแต่ละตัวทำอะไรเมื่อ $x\to 0$ ไซน์ต่อเนื่องและ $\sin 0=0$ ดังนั้น $\sin(9x)\to 0$ และ $\sin(12x)\to 0$ ส่วนโคไซน์ต่อเนื่องและ $\cos 0=1$ ดังนั้น $\cos(12x)\to 1$ ที่สำคัญคือตัวส่วนไม่ลู่เข้าสู่ $0$ อีกต่อไป จึงไม่ต้องตัดทอนหรือใช้โลปีตาล

4. 4

   แทนค่าลิมิต $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

5. 5

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยตัวเลข ที่ $x=0.01$ นิพจน์เท่ากับ $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$ และที่ $x=0.001$ มีค่าราว $0.000108$ — หดลงราวหนึ่งร้อยเท่าทุกครั้งที่ $x$ หดลงสิบเท่า ตรงตามที่พฤติกรรมอันดับนำ $108x^2$ ทำนายไว้พอดี ลิมิตคือ $0$