จงหาค่าลิมิตของ (1 − cos 2x)/(2x) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าตัวเศษไม่เคยเข้าที่ เมื่อ $x\to\infty$ ค่า $\cos 2x$ แกว่งไปมาระหว่าง $-1$ กับ $1$ ตลอดไป ดังนั้น $1-\cos 2x$ ไม่มีลิมิต นั่นตัดทางเลือกที่จะแยกเศษส่วนหรือใช้กฎของโลปีตาลออกไป — แต่ก็ไม่ได้ห้ามผลหารทั้งก้อนลู่เข้า เพราะตัวเศษยังมีขอบเขต

2. 2

   ตีกรอบตัวเศษ จาก $-1\le\cos 2x\le 1$ ได้ $0\le 1-\cos 2x\le 2$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ นี่คืออสมการหลัก คือตัวเศษที่มีขอบเขตหารด้วยตัวส่วนที่โตอย่างไม่มีขอบเขต

3. 3

   หารอสมการด้วยตัวส่วนที่เป็นบวก เมื่อ $x>0$ จะได้ $2x>0$ การหารจึงรักษาทิศทางของอสมการทั้งสองข้าง $0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

4. 4

   ใช้ทฤษฎีบทแซนด์วิช ขอบทั้งสองข้างวิ่งไปที่เดียวกัน คือ $\lim_{x\to\infty}0=0$ และ $\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$ ฟังก์ชันที่ถูกขังอยู่ระหว่างสองลำดับที่มีลิมิตเดียวกันย่อมมีลิมิตนั้นด้วย ดังนั้น $\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

5. 5

   ยืนยันด้วยค่าตัวอย่าง ที่ $x=1000$ ตัวเศษมีค่ามากที่สุดได้ $2$ ผลหารจึงไม่เกิน $2/2000=0.001$ ที่ $x=10^6$ ผลหารไม่เกิน $10^{-6}$ ตัวขอบบนเองยุบลงสู่ $0$ ซึ่งเป็นสิ่งที่บังคับคำตอบ