จงหาลิมิตของ √(x² + 6x − 2) เมื่อ x เข้าใกล้ 3

Step-by-step solution

1. 1

   ทดสอบนิพจน์ใต้กรณฑ์ที่จุดเป้าหมาย หาค่าข้างในก่อน เพราะคำถามทั้งหมดอยู่ที่ว่ารากที่สองนิยามและต่อเนื่องที่นั่นหรือไม่

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   ค่านี้เป็นบวก ดังนั้น $\sqrt{\cdot}$ ต่อเนื่องบนย่านใกล้เคียงของจุดนั้น และการแทนค่าจึงชอบธรรม

2. 2

   ย้ายลิมิตเข้าไปในกรณฑ์ สำหรับฟังก์ชันนอกที่ต่อเนื่อง

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   นี่คือกฎการประกอบฟังก์ชัน และเป็นขั้นที่ทำให้โจทย์จบในบรรทัดเดียว

3. 3

   แทนค่าแล้วจัดรูป

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   ใช้รากที่สองหลัก คำตอบจึงเป็น $+5$ ไม่ใช่ $\pm 5$

4. 4

   สังเกตว่าทางลัดนี้จะล้มเหลวเมื่อใด ถ้านิพจน์ใต้กรณฑ์ลู่เข้าสู่ค่าลบ ลิมิตสองข้างจะไม่มีอยู่จริงบนจำนวนจริง ถ้าลู่เข้าสู่ $0$ ก็ต้องตรวจว่าฟังก์ชันนิยามทั้งสองข้างหรือไม่ ทั้งสองกรณีไม่เกิดขึ้นที่นี่ — นิพจน์ $x^2+6x-2$ เป็นบวกสำหรับทุก $x > -3 + \sqrt{11} \approx 0.317$ ซึ่งครอบคลุม $x = 3$ อย่างสบาย ๆ

5. 5

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x = 2.99$: $\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$ ที่ $x = 3.01$: $\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$ ค่าด้านเดียวทั้งสองขนาบ $5$ ไว้และเข้าใกล้มัน ✓ และการหาลิมิตเชิงสัญลักษณ์ให้ $5$ พอดี