จงหาค่าลิมิตของ (√(x + 11) − 6)/(x − 5) เมื่อ x เข้าใกล้ 5 หรืออธิบายว่าเหตุใดจึงไม่มีอยู่จริง

Step-by-step solution

1. 1

   แทนค่าก่อนเลือกเทคนิค รูปร่าง $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$ มักส่งสัญญาณว่า "ให้ทำตัวเศษเป็นตรรกยะ" แต่จะถูกต้องก็ต่อเมื่อตัวเศษเป็นศูนย์จริง ๆ ตรวจดู

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   และตัวส่วนเป็น $5-5=0$ รูปแบบจึงเป็น $\dfrac{-2}{0}$ ไม่ใช่ $\dfrac{0}{0}$

2. 2

   ดูว่าทำไมกลเม็ดสังยุคตามปกติจึงล้มเหลวที่นี่ การคูณด้วย $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$ ให้ตัวเศษ $(x+11)-36=x-25$ ดังนั้น

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   ที่ $x=5$ ตัวเศษใหม่เป็น $-20\ne 0$ ตัวประกอบ $(x-5)$ ยังคงอยู่โดดเดี่ยวที่ตัวส่วน ไม่มีอะไรตัดกัน ซึ่งเป็นลักษณะของ $\tfrac{c}{0}$ แท้ ๆ พอดี (ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือ "แยกตัวประกอบ" $x-25$ เป็น $(x-5)(x+5)$ — แต่ $(x-5)(x+5)=x^2-25$ ไม่ใช่ $x-25$)

3. 3

   หาลิมิตด้านเดียวทั้งสอง ใกล้ ๆ $x=5$ ตัวเศษมีค่าใกล้ $-2<0$ เครื่องหมายของผลหารจึงตรงข้ามกับเครื่องหมายของ $x-5$

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

4. 4

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x=5.0001$ ผลหารประมาณ $-2.0\times10^{4}$ ที่ $x=4.9999$ ประมาณ $+2.0\times10^{4}$ สองข้างวิ่งไปคนละทิศ

5. 5

   สรุป เนื่องจากลิมิตด้านเดียวไม่ตรงกัน (และไม่ใช่จำนวนจำกัดด้วยซ้ำ) ลิมิตสองข้างจึงไม่มีอยู่จริง เส้น $x=5$ เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของฟังก์ชันนี้ กฎทั่วไปที่ควรจำไว้คือ มีเพียง $\tfrac00$ เท่านั้นที่ยังไม่กำหนด — จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์หารด้วยศูนย์ให้ลิมิตที่เป็นอนันต์หรือไม่มีอยู่จริงเสมอ ไม่มีทางเป็นค่าจำกัด