จงหาค่าลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวา ของ (x / ((eˣ − 1) cos √x)) ยกกำลัง 1 / ((1 + sin(x²))^(1/x) − 1) โดยเลือกจาก e^(1/2), e^(−1/2), e หรือ 1

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนดแล้วตั้งการลดรูปมาตรฐาน ฐานลู่เข้าสู่ $1$ และเลขชี้กำลังโตอย่างไม่มีขอบเขต นี่จึงเป็น $1^{\infty}$ เขียน $L=\lim u^{v}$ แล้วใช้

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   เพราะ $\ln u\sim u-1$ เมื่อ $u\to 1$ ทุกอย่างจึงขึ้นกับว่า $u-1\to 0$ เร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับ $v\to\infty$

2. 2

   กระจายตัวส่วนของเลขชี้กำลัง เมื่อ $x$ มีค่าน้อย $\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$ ดังนั้น

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   ลบ $1$ ออกเหลือ $x+O(x^2)$ เลขชี้กำลังจึงเป็น

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}.$

3. 3

   กระจายฐานให้ลึกพอ ใช้ $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$ และ $\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$ ผลคูณของทั้งสองคือ

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   การแก้ไขอันดับหนึ่งทั้งสองตัวตัดกันพอดี — การตัดกันนี้คือแก่นทั้งหมดของโจทย์

4. 4

   ประกอบฐานขึ้นแล้วดูว่าห่างจาก 1 แค่ไหน

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{ดังนั้น}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   รวมเลขชี้กำลังกับฐานเข้าด้วยกัน

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   ดังนั้น

   $L=e^{0}=1.$

   ถ้าพจน์ $x^2$ ในขั้นที่ 3 ไม่ตัดกัน ค่า $u-1$ จะเป็นอันดับ $x$ และคำตอบจะกลายเป็น $e^{\pm 1/2}$ — ซึ่งเป็นสิ่งที่ตัวเลือก (ก) และ (ข) วางกับดักไว้พอดี

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข การหาค่านิพจน์เดิมให้ $1.004211$ ที่ $x=0.1$, $1.000417$ ที่ $x=0.01$, $1.0000417$ ที่ $x=0.001$ และ $1.0000042$ ที่ $x=10^{-4}$ — เข้าใกล้ $1$ แบบเชิงเส้นใน $x$ ตรงตามที่ประมาณการ $O(x)$ ทำนายไว้ คำตอบคือ (ง)