จงหาค่าลิมิตของ 3x³ + 5x² + 4x − 10 เมื่อ x เข้าใกล้ 2

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่ากำลังหาลิมิตของฟังก์ชันชนิดใด นิพจน์ $3x^3+5x^2+4x-10$ เป็นพหุนาม พหุนามสร้างขึ้นจากผลบวกและผลคูณของ $x$ กับค่าคงตัว และฟังก์ชันเช่นนี้ต่อเนื่องที่จำนวนจริงทุกจำนวน ความต่อเนื่องที่ $a$ ก็คือข้อความ

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   พอดี ดังนั้นข้อนี้ไม่ต้องใช้กลเม็ดพีชคณิตใด ๆ ทั้งโจทย์ลดรูปเหลือแค่การแทนค่า

2. 2

   แทน $x=2$ ลงในแต่ละพจน์แยกกัน การทำทีละพจน์ช่วยให้เลขคณิตไม่ผิดพลาด

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

3. 3

   บวกทั้งสี่ส่วนเข้าด้วยกัน

   $24+20+8-10=42$

   ดังนั้น

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

4. 4

   ยืนยันว่าการแทนค่าทำได้จริง การแทนค่าตรง ๆ จะล้มเหลวก็ต่อเมื่อได้รูปที่ไม่นิยาม เช่น $\tfrac00$ หรือ $\tfrac{c}{0}$ เท่านั้น ที่นี่ได้จำนวนจำกัดคือ $42$ จึงไม่มีอะไรที่ยังไม่กำหนดให้ต้องแก้ — ไม่ต้องแยกตัวประกอบ ไม่ต้องใช้สังยุค ไม่ต้องใช้โลปีตาล

5. 5

   ตรวจความสมเหตุสมผลจากทั้งสองข้าง การหาค่าพหุนามที่ห่างจาก $x=2$ เล็กน้อยให้ $f(1.99)\approx 41.4023$ และ $f(2.01)\approx 42.6023$ ค่าเข้าใกล้ $42$ จากด้านล่างและด้านบน ซึ่งเป็นลักษณะของลิมิตสองข้างที่เท่ากับ $42$