จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ของ (x² − 1) tan(2x − 2) / sin²(x − 1)

Step-by-step solution

1. 1

   ยืนยันว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด ที่ $x = 1$: $x^2-1 = 0$, $\tan(2x-2) = \tan 0 = 0$ และ $\sin^2(x-1) = 0$ นิพจน์จึงเป็น $\dfrac{0 \cdot 0}{0}$ — ยังไม่กำหนดจริง ๆ และแทนค่าตรง ๆ ไม่ได้

2. 2

   แทน $u = x-1$ เพื่อให้ทุกอย่างมีจุดศูนย์กลางที่ศูนย์ จะได้ $x = u+1$, $x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = u(u+2)$, $2x-2 = 2u$ และ $x-1 = u$ โดย $u \to 0$

   $\lim_{u\to 0}\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u}$

   การแทนค่านี้คือกลเม็ดทั้งหมดของข้อนี้ เพราะมันเปิดเผยลิมิตมุมเล็กมาตรฐานออกมา

3. 3

   เขียนใหม่โดยใช้ลิมิตมาตรฐานสองตัว แยกนิพจน์ให้ตัวประกอบตรีโกณมิติแต่ละตัวอยู่เหนืออาร์กิวเมนต์ของตัวเอง

   $\frac{u(u+2)\tan(2u)}{\sin^2 u} = (u+2)\cdot\underbrace{\frac{\tan(2u)}{2u}}_{\to\,1}\cdot 2 \cdot \underbrace{\left(\frac{u}{\sin u}\right)^{2}}_{\to\,1}$

   ตรงนี้ $u \cdot \dfrac{2u}{u^2} = \dfrac{2}{1}$ เป็นที่มาของตัวประกอบ $2$ โดยใช้ $\lim_{t\to0}\tfrac{\tan t}{t} = 1$ และ $\lim_{u\to0}\tfrac{\sin u}{u} = 1$

4. 4

   หาลิมิตทีละตัวประกอบ

   $\lim_{u\to 0}(u+2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 \cdot 2 = 4$

5. 5

   ตรวจซ้ำด้วยการกระจายอันดับนำ เมื่อ $u$ มีค่าน้อย $\tan(2u) \approx 2u$ และ $\sin^2 u \approx u^2$ ผลหารทั้งก้อนจึงมีพฤติกรรมเหมือน $\dfrac{u(u+2)(2u)}{u^2} = 2(u+2) \to 4$ ✓ — ได้คำตอบเดียวกันด้วยเส้นทางที่สั้นกว่า

6. 6

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $u = 0.01$ (นั่นคือ $x = 1.01$): ตัวเศษ $= 0.01 \times 2.01 \times \tan(0.02) = 0.01 \times 2.01 \times 0.0200027 = 0.000402054$, ตัวส่วน $= \sin^2(0.01) = 0.0000999967$, ผลหาร $= 4.02067$ ที่ $u = 0.001$ ผลหารเป็น $4.002007$ ✓ เข้าใกล้ $4$ และการหาลิมิตเชิงสัญลักษณ์ให้ $4$ พอดี