จงพิสูจน์ว่าผลคูณอนันต์ของ (1 + x/n²) ตั้งแต่ n = 1 ถึงอนันต์ ลู่เข้าสำหรับทุก x > 0 และจงหาลิมิตของ ln ของผลคูณนั้นหารด้วย √x เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนผลคูณให้เป็นอนุกรม ตัวประกอบทุกตัวมากกว่า $1$ ผลคูณจึงลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$ ลู่เข้า การหาขอบเขตของผลคูณโดยตรงทำได้ยาก ลอการิทึมทำให้ใช้การทดสอบเปรียบเทียบได้

2. 2

   เปรียบเทียบกับอนุกรม $p$ สำหรับ $u\ge 0$ ขอบเขตพื้นฐาน $\ln(1+u)\le u$ ให้ $0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$ เนื่องจาก $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ ลู่เข้า การทดสอบเปรียบเทียบจึงบังคับให้ $\ln P(x)$ ลู่เข้าสำหรับ $x>0$ ที่ตรึงไว้ทุกค่า ผลคูณจึงลู่เข้า

3. 3

   มองให้ออกว่ามีรูปปิด ผลคูณของออยเลอร์สำหรับไฮเพอร์โบลิกไซน์ $\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right),$ ใช้ได้เมื่อ $z=\sqrt{x}$ ดังนั้น $P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$ ที่ $x=2$ ทั้งสองข้างเท่ากับ $9.56675$ และที่ $x=9$ ทั้งสองข้างเท่ากับ $657.397$

4. 4

   ใส่ลอการิทึมแล้วดึงอัตราการเติบโตออกมา ใช้ $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$ ได้ $\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$ พจน์นำคือ $\pi\sqrt{x}$ ส่วนที่เหลือทั้งหมดเป็น $O(\ln x)$

5. 5

   หารด้วย $\sqrt{x}$ แล้วหาลิมิต $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$ กล่าวอีกอย่าง ผลบวกนี้คือผลบวกรีมันน์ที่มีความละเอียด $1/\sqrt{x}$ ของ $\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$ การบวกโดยตรงที่ $x=10^{6}$ ให้ $3.13285$ ซึ่งลู่เข้าหา $\pi$ อย่างช้า ๆ ตามที่พจน์แก้ $\ln x/\sqrt{x}$ ทำนายไว้