จงหารูปแบบปิดของผลบวก e^(1 + 2i/n) เมื่อ i ไล่จาก 1 ถึง n

Step-by-step solution

1. 1

   แยกเลขชี้กำลังเพื่อดึงส่วนที่คงที่ออกมา ใช้ $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ ได้

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   ตัว $e$ ไม่มี $i$ อยู่ข้างใน จึงดึงออกนอกเครื่องหมายผลบวกได้ทันที

2. 2

   มองให้เห็นโครงสร้างเรขาคณิต เขียน $r=e^{2/n}$ แล้วพจน์ต่าง ๆ คือ $r,r^{2},\dots,r^{n}$ นั่นคือแต่ละพจน์เท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณอัตราส่วนคงที่ $r$ จึงเป็นอนุกรมเรขาคณิต จำกัด ที่มีพจน์แรก $a=r$ และมี $n$ พจน์ — สังเกตว่า $n$ ปรากฏทั้งในจำนวนพจน์และในอัตราส่วนร่วม

3. 3

   ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตจำกัด จาก $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ และ $a=r$ ได้

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   สูตรนี้ต้องการ $r\neq 1$ ซึ่งเป็นจริงเพราะ $e^{2/n}>1$ สำหรับทุก $n$ ที่เป็นบวก

4. 4

   จัดรูป $r^{n}$ — เหตุผลที่คำตอบออกมาสวย

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   ดังนั้น

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   การขึ้นกับ $n$ ยุบลงเหลืออยู่แค่ตัวประกอบ $e^{2/n}$ กับตัวส่วนเท่านั้น

5. 5

   คูณ $e$ กลับเข้าไปแล้วตีความผลลัพธ์

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   ค่านี้คือ $\tfrac{n}{2}$ เท่าของผลบวกรีมันน์แบบใช้ปลายขวาของ $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$ พอดี เมื่อคูณด้วยความกว้าง $\tfrac2n$ แล้วให้ $n\to\infty$ โดยใช้ $e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ จะได้ $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ กลับคืนมา ✓