กำหนด y = f(x) = x³ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 เป็น 5

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนบทนิยาม อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คือ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ซึ่งเป็นความชันของเส้นตัดที่ผ่าน $(a,f(a))$ กับ $(b,f(b))$ ไม่ใช่อนุพันธ์ที่จุดใดจุดหนึ่ง

2. 2

   หาค่าที่จุดปลาย $f(5)=5^3=125$ และ $f(3)=3^3=27$

3. 3

   หาผลต่างของ $y$ $\Delta y=125-27=98$

4. 4

   หาผลต่างของ $x$ $\Delta x=5-3=2$

5. 5

   หารกัน $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$ ดังนั้นโดยเฉลี่ย $y$ เพิ่มขึ้น $49$ หน่วยต่อการเพิ่มของ $x$ หนึ่งหน่วยบนช่วงนี้

6. 6

   เทียบกับอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง เนื่องจาก $f'(x)=3x^2$ ความชันจึงเป็น $27$ ที่ $x=3$ และ $75$ ที่ $x=5$ ค่าเฉลี่ย $49$ อยู่ระหว่างสองค่านั้น ตรงตามที่ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยกำหนดไว้พอดี