จงใช้ปริพันธ์สองชั้นหาพื้นที่ของบริเวณระหว่าง y = 4x − x² กับเส้นตรง y = x

Step-by-step solution

1. 1

   หาว่าเส้นโค้งทั้งสองพบกันที่ใด ตั้ง $4x-x^{2}=x$ ได้ $3x-x^{2}=0$ นั่นคือ $x(3-x)=0$ เส้นโค้งจึงตัดกันที่ $x=0$ และ $x=3$ เนื่องจาก $y=x$ ตรงนั้น จุดตัดจึงเป็น $(0,0)$ และ $(3,3)$ ค่าทั้งสองนี้กลายเป็นขีดจำกัดชั้นนอกของปริพันธ์

2. 2

   ตัดสินว่าเส้นใดอยู่ข้างบน ทดสอบจุดภายในสักจุด: ที่ $x=1$ พาราโบลาให้ $4(1)-1^{2}=3$ ขณะที่เส้นตรงให้ $1$ พาราโบลาจึงอยู่เหนือเส้นตรงตลอด $0<x<3$ และบริเวณคือ $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$

3. 3

   ตั้งพื้นที่ในรูปปริพันธ์สองชั้น พื้นที่คือปริพันธ์สองชั้นของค่าคงตัว $1$ บนบริเวณนั้น เมื่อใช้การบรรยายด้วยแถบแนวตั้งข้างต้น $A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$

4. 4

   อินทิเกรตชั้นใน การอินทิเกรต $1$ เทียบกับ $y$ คือการวัดความสูงของแถบพอดี $\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ ซึ่งก็คือตัวถูกอินทิเกรตแบบข้างบนลบข้างล่างที่คุ้นเคยจากโจทย์พื้นที่ตัวแปรเดียว

5. 5

   อินทิเกรตชั้นนอก $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ ตัวถูกอินทิเกรต $3x-x^{2}$ ไม่เป็นลบบน $[0,3]$ คำตอบจึงเป็นบวกตามที่พื้นที่ควรเป็น