จงหาปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = cos²x และหาอนุพันธ์ของมันด้วย

Step-by-step solution

1. 1

   แทนกำลังสองด้วยเอกลักษณ์ลดกำลัง กำลังสองของไซน์และโคไซน์อินทิเกรตตรง ๆ ด้วยกฎกำลังไม่ได้ แต่ทำให้เป็นเชิงเส้นได้

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   เอกลักษณ์นี้มาจากการจัดรูป $\cos 2x=2\cos^2x-1$ และเป็นก้าวแรกมาตรฐานสำหรับ $\int\cos^2$ หรือ $\int\sin^2$

2. 2

   แยกปริพันธ์ที่ได้ออกเป็นสองก้อน

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

3. 3

   อินทิเกรตทีละก้อน ก้อนที่สองต้องมีตัวประกอบ $\tfrac1k$ สำหรับ $2x$ ที่อยู่ข้างใน

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   หาอนุพันธ์ของ $f$ ด้วยกฎลูกโซ่ เขียน $f(x)=(\cos x)^2$

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   ขั้นสุดท้ายใช้เอกลักษณ์มุมสองเท่า $\sin 2x=2\sin x\cos x$

5. 5

   ตรวจปฏิยานุพันธ์ด้วยการหาอนุพันธ์กลับ

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   ในเชิงตัวเลขที่ $x=0.9$: อนุพันธ์ของปฏิยานุพันธ์เท่ากับ $0.386399$ และ $\cos^2(0.9)=0.386399$ $\checkmark$ ส่วนพจน์ $\tfrac{x}{2}$ ก็สอดคล้องกับค่าเฉลี่ยที่ทราบกันของ $\cos^2$ ตลอดหนึ่งคาบ ซึ่งเท่ากับ $\tfrac12$