จำนวนสามหลักจำนวนหนึ่งมีหลักแรกต่างจากหลักสุดท้าย เมื่อเขียนหลักกลับด้านจะได้จำนวนที่สอง และเมื่อนำจำนวนที่สองลบออกจากจำนวนแรกได้ 396 จงหาจำนวนที่มากที่สุดที่มีสมบัตินี้

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนจำนวนทั้งสองในรูปกระจาย ให้หลักเป็น $a$, $b$, $c$ (และ $a\ne 0$)

   $N=100a+10b+c,\qquad N'=100c+10b+a$

2. 2

   ลบกันแล้วสังเกตว่าหลักสิบหายไป

   $N-N'=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)$

   หลักกลาง $b$ ตัดกันหมด ซึ่งเป็นแก่นของโจทย์ข้อนี้ เพราะมันอิสระโดยสมบูรณ์

3. 3

   แก้หาผลต่างของหลัก

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=\frac{396}{99}=4$

   หลักแรกจึงมากกว่าหลักสุดท้ายอยู่ $4$ พอดี

4. 4

   ทำให้มากที่สุดทีละหลักโดยไล่จากซ้าย ค่าประจำหลักทำให้หลักร้อยมีอิทธิพลสูงสุด จึงเลือก $a$ ที่มากที่สุดโดยยังทำให้ $c=a-4$ เป็นหลักที่ใช้ได้ นั่นคือ $a=9$ ได้ $c=5$ จากนั้นทำให้หลักสิบมากที่สุด โจทย์กำหนดเพียงว่าหลักแรกกับหลักสุดท้ายต้องต่างกัน — ไม่ได้พูดถึงหลักกลางเลย ดังนั้น $b$ เป็น $9$ ได้

   $N=995$

5. 5

   ตรวจคำตอบ และดูว่าทำไม 985 จึงไม่ใช่คำตอบ

   $995-599=396\quad\checkmark$

   ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือคิดไปเองว่าหลักทั้งสามต้องต่างกันหมด ซึ่งจะตัด $b=9$ ทิ้งและได้ $985$ ที่น้อยกว่า (ค่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน $985-589=396$) แต่ $995$ มากกว่าและสอดคล้องกับทุกเงื่อนไขที่โจทย์ระบุ จึงเป็นค่ามากที่สุดที่แท้จริง