จงหาพาลินโดรมหกหลักที่มากที่สุดซึ่งหารด้วย 45 ลงตัว

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนพาลินโดรมหกหลักในรูปทั่วไป รูปแบบของหลักคือ $abccba$ ดังนั้น

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   มีเพียง $a$, $b$, $c$ ที่อิสระ — สามหลัก ไม่ใช่หกหลัก

2. 2

   แยก 45 ออกเป็นตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เนื่องจาก $45=9\times 5$ และ $\gcd(9,5)=1$ จำนวนนี้จึงต้องหารด้วย $9$ ลงตัว และ หารด้วย $5$ ลงตัว สองเงื่อนไขนี้ให้ข้อกำหนดเรื่องหลักที่เป็นอิสระต่อกัน

3. 3

   ใช้การหารด้วย 5 ลงตัวเพื่อตรึงค่า $a$ หลักสุดท้ายต้องเป็น $0$ หรือ $5$ ในพาลินโดรมหลักสุดท้ายเท่ากับหลักแรก และหลักแรกของจำนวนหกหลักเป็น $0$ ไม่ได้ ดังนั้น

   $a=5,\qquad N=\overline{5bcc b5}$

4. 4

   ใช้การหารด้วย 9 ลงตัวเพื่อจำกัดค่า $b+c$ ผลรวมของหลักคือ

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   ค่านี้ต้องเป็นพหุคูณของ $9$ เนื่องจาก $\gcd(2,9)=1$ ตัวประกอบ $2$ จึงตัดทิ้งได้

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   ดังนั้น $b+c=4$ หรือ $b+c=13$ (เป็นค่าที่เป็นไปได้เพียงสองค่าเมื่อใช้เลขสองหลัก)

5. 5

   ทำค่าประจำหลักให้มากที่สุดโดยไล่จากซ้าย เมื่อ $a$ ถูกตรึงไว้ที่ $5$ หลักอิสระที่มีค่าประจำหลักสูงรองลงมาคือ $b$ จึงเลือก $b=9$ แล้ว $c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$ บังคับให้ $b+c=13$ ได้ $c=4$

   $N=594495$

6. 6

   ตรวจเงื่อนไขการหารลงตัวทั้งสองข้อ ผลรวมของหลัก $5+9+4+4+9+5=36$ และ $36=4\times 9$ $\checkmark$ หลักสุดท้ายเป็น $5$ $\checkmark$ ตรวจตรง ๆ

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   การไล่พาลินโดรมหกหลักลงมาทีละตัวยืนยันว่าไม่มีจำนวนใดที่มากกว่านี้ใช้ได้ ดังนั้น $594495$ คือคำตอบ