จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของ 399x + 188y = 3570

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจว่าแก้ได้หรือไม่ด้วย ห.ร.ม. คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $\gcd(399,188)$ หาร $3570$ ลงตัว ใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด

   $399=2\cdot188+23,\quad 188=8\cdot23+4,\quad 23=5\cdot4+3,\quad 4=1\cdot3+1,\quad 3=3\cdot1+0$

   ได้ $\gcd(399,188)=1$ ซึ่งหารทุกจำนวนลงตัว คำตอบจึงมีอยู่

2. 2

   ลดรูปให้เป็นสมภาค การทำงานในมอดุโล $188$ จะกำจัดพจน์ $y$ ทิ้ง

   $399x\equiv3570\pmod{188}$

   ลดสัมประสิทธิ์ทั้งสอง $399-2(188)=23$ และ $3570-18(188)=3570-3384=186$ ดังนั้น

   $23x\equiv186\pmod{188}$

3. 3

   หาตัวผกผันการคูณของ 23 ด้วยการแทนย้อนกลับ ย้อนขั้นตอนของยุคลิด

   $1=4-3=4-(23-5\cdot4)=6\cdot4-23=6(188-8\cdot23)-23=6\cdot188-49\cdot23$

   จึงได้ $-49\cdot23\equiv1\pmod{188}$ ตัวผกผันคือ $-49\equiv139\pmod{188}$ ตรวจดู $23\times139=3197=17\times188+1$ ✓

4. 4

   คูณตลอด แล้วลดรูปขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง

   $x\equiv186\times139=25854\pmod{188}$

   เนื่องจาก $188\times137=25756$ และ $25854-25756=98$ ดังนั้น

   $x\equiv98\pmod{188}$

   นี่คือขั้นที่ความผิดพลาดมักเล็ดลอดเข้ามา บางครั้งมีการอ้างค่า $18$ ตรงนี้ แต่ $188\times137=25756$ เหลือเศษ $98$ ไม่ใช่ $18$

5. 5

   แก้คำตอบผิดที่ถูกส่งต่อกันมาอย่างกว้างขวาง คู่ $(x,y)=(18,-19)$ มักถูกยกมาเป็นคำตอบเฉพาะ แต่เมื่อแทนค่าจะได้

   $399(18)+188(-19)=7182-3572=3610\neq3570$

   ซึ่งคลาดไป $40$ คำตอบเฉพาะที่ถูกต้องซึ่งได้จาก $x=98$ คือ

   $188y=3570-399(98)=3570-39102=-35532\quad\Longrightarrow\quad y=-189$

   และ $399(98)+188(-189)=39102-35532=3570$ ✓

6. 6

   เขียนคำตอบทั่วไป การบวก $188$ เข้ากับ $x$ พร้อมกับลบ $399$ ออกจาก $y$ ทำให้ข้างซ้ายไม่เปลี่ยน เพราะ $399\cdot188-188\cdot399=0$

   $x=98+188k,\qquad y=-189-399k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   เมื่อ $k=-1$ จะได้ $(-90,210)$ และเมื่อ $k=-2$ จะได้ $(-278,609)$

7. 7

   สังเกตว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วตรวจสอบ จากรูปทั่วไป การที่ $x>0$ ต้องมี $k\ge0$ แต่เมื่อนั้น $y=-189-399k\le-189<0$ ดังนั้น $x$ กับ $y$ เป็นบวกพร้อมกันไม่ได้เลย ตรวจ $x$ ทุกค่าตั้งแต่ $1$ ถึง $199$ ไม่มีค่าใดทำให้ $\tfrac{3570-399x}{188}$ เป็นจำนวนเต็มบวก ✓ และสูตรทั่วไปได้รับการยืนยันว่าให้ $3570$ พอดีสำหรับ $k$ ทุกค่าตั้งแต่ $-6$ ถึง $6$ ✓