ฟังก์ชันพาราเมตริก vs โดยปริยาย

พาราเมตริก และ โดยปริยาย เป็นสองวิธีในการอธิบายเส้นโค้งที่ไม่เข้ากับรูปแบบง่าย ๆ "$y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$"

พาราเมตริก

รูป พาราเมตริก แสดงทั้ง $x$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สาม $t$ (พารามิเตอร์ มักเป็นเวลา):

$x = f(t), \quad y = g(t)$

ตัวอย่าง: วงกลมรัศมี 1: $x = \cos t$, $y = \sin t$ สำหรับ $t \in [0, 2\pi]$

จุดแข็ง: อธิบายการเคลื่อนที่อย่างเป็นธรรมชาติ (แต่ละ $t$ ให้ตำแหน่งหนึ่ง) จัดการกับวงและการตัดกันเองได้อย่างง่ายดาย

โดยปริยาย

รูป โดยปริยาย ใช้สมการเดียว:

$F(x, y) = 0$

วงกลมเดียวกัน: $x^2 + y^2 - 1 = 0$

จุดแข็ง: สมการพีชคณิตเดียวที่ไม่ซ้ำ ทดสอบได้ง่ายว่าจุดหนึ่งอยู่บนเส้นโค้งหรือไม่ (แค่แทนค่าและตรวจสอบ)

เมื่อใดใช้แบบใด

สถานการณ์	รูปที่ดีที่สุด
การเคลื่อนที่ / วิถี	พาราเมตริก
ต้องการการหาอนุพันธ์โดยปริยาย	โดยปริยาย
เส้นโค้งมีการตัดกันเอง	พาราเมตริก
การจัดการเชิงพีชคณิต / สัญลักษณ์	โดยปริยาย
การวาดผ่านค่า $t$	พาราเมตริก

ตัวอย่างที่แก้แล้ว: อนุพันธ์

สำหรับวงกลม $x^2 + y^2 = 1$:

• การหาอนุพันธ์โดยปริยาย: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ ดังนั้น $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
• พาราเมตริก ($x = \cos t$, $y = \sin t$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$ ✓

ทั้งสองให้คำตอบเดียวกัน แต่กระบวนการต่างกัน

การแปลง

บางครั้งคุณสามารถแปลงระหว่างรูปได้โดยการกำจัดพารามิเตอร์ (พาราเมตริก → โดยปริยาย) หรือการใส่พารามิเตอร์ (โดยปริยาย → พาราเมตริก) ไม่ใช่ว่าจะทำได้อย่างหมดจดเสมอไป