ไม่ต่อเนื่อง vs ต่อเนื่อง

ไม่ต่อเนื่อง vs ต่อเนื่อง เป็นหนึ่งในการแยกแยะที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ การระบุผิดว่าคุณมีแบบใดนำไปสู่เครื่องมือผิด การแจกแจงผิด และข้อสรุปผิด

ไม่ต่อเนื่อง

ปริมาณไม่ต่อเนื่องรับได้เฉพาะ ค่าที่แยกจากกัน โดยปกติเป็นจำนวนเต็มหรือเซตจำกัด

ตัวอย่าง: จำนวนนักเรียนในชั้นเรียน ผลทอยลูกเต๋า ของเสียต่อหน่วย จำนวนคลิกบนหน้าเว็บ

เครื่องมือทางคณิตศาสตร์: ผลรวม $\sum$, ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น $P(X = k)$, การจัดหมู่, สมการผลต่าง, ทฤษฎีกราฟ

ต่อเนื่อง

ปริมาณต่อเนื่องรับ ค่าใด ๆ ภายในช่วง ด้วยความละเอียดตามอำเภอใจ

ตัวอย่าง: ความสูง น้ำหนัก เวลา อุณหภูมิ ระยะทาง

เครื่องมือทางคณิตศาสตร์: การหาปริพันธ์ $\int$, ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น $f(x)$ (โดยที่ $P(X = \text{ค่าที่แน่นอน}) = 0$), สมการเชิงอนุพันธ์, แคลคูลัส

การตัดสินใจ: ใช้กรอบใด?

ด้าน	ไม่ต่อเนื่อง	ต่อเนื่อง
ค่า	แยกกัน นับได้	ช่วง นับไม่ได้
ความน่าจะเป็นของค่าที่แน่นอน	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ — ต้องใช้ช่วง
เครื่องมือ "ผลรวม"	$\sum$	$\int$
ชนิดสมการ	สมการผลต่าง	สมการเชิงอนุพันธ์
การแจกแจงที่พบบ่อย	ทวินาม ปัวซง เรขาคณิต	ปรกติ เอกซ์โพเนนเชียล เอกรูป

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ปฏิบัติต่อการนับเหมือนเป็นแบบต่อเนื่อง "ครัวเรือนเฉลี่ยมีลูก 2.3 คน" — ใช้เป็นบทสรุปได้ แต่ความน่าจะเป็นของ "ลูก 2.3 คนพอดี" ไม่มีความหมาย
• ปฏิบัติต่อการวัดเหมือนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง การบอกว่าความสูง "เป็น 170 ซม." คือการปัดเศษปริมาณต่อเนื่อง การทดสอบทางสถิติที่สมมติความไม่ต่อเนื่องจะสูญเสียข้อมูล
• ปนกันในความน่าจะเป็น: อย่ารวมฟังก์ชันความหนาแน่นต่อเนื่อง ให้หาปริพันธ์ อย่าหาปริพันธ์ฟังก์ชันมวลแบบไม่ต่อเนื่อง ให้รวม

สะพานเชื่อมระหว่างกัน

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ทำให้ผลรวมแบบไม่ต่อเนื่องของตัวแปรเล็ก ๆ จำนวนมากเข้าใกล้การแจกแจงปรกติแบบต่อเนื่อง การปรับแก้ความต่อเนื่อง แปลระหว่างความน่าจะเป็นแบบทวินาม (ไม่ต่อเนื่อง) และปรกติ (ต่อเนื่อง) ผลรวมรีมันน์ คือสะพานแบบไม่ต่อเนื่องสู่ปริพันธ์