Решить lim x→0 от sin(x)/x = 1

Пошаговое решение

1. Прямая подстановка даёт $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$ — неопределённость.

2. Применяем правило Лопиталя: дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности.

3. Производная числителя: $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$.

4. Производная знаменателя: $\frac{d}{dx}x = 1$.

5. Предел становится $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$.

6. Этот предел настолько важен, что имеет собственное название: фундаментальный тригонометрический предел, основа всего матанализа.