Найдите объём куба, полная площадь поверхности которого равна 486 квадратным сантиметрам.

Step-by-step solution

1. 1

   Ведём вычисление через длину ребра. Две формулы куба —

   $S=6a^{2},\qquad V=a^{3},$

   и общее у них только ребро $a$. Сначала находим $a$: формулы, связывающей поверхность и объём напрямую, не существует.

2. 2

   Делим на число граней. У куба шесть равных квадратных граней, поэтому площадь одной грани равна

   $a^{2}=\frac{486}{6}=81\ \text{см}^2.$

3. 3

   Извлекаем положительный квадратный корень и получаем ребро.

   $a=\sqrt{81}=9\ \text{см}.$

   Для длины имеет смысл только положительный корень.

4. 4

   Возводим ребро в куб.

   $V=a^{3}=9^{3}=729\ \text{см}^3.$

5. 5

   Проверяем обратным ходом. При $a=9$ площадь поверхности равна $6(81)=486\ \text{см}^2$ ✓, значит ребро найдено верно, а за ним и объём. Обратим внимание на красивую пару: поверхности $486\ \text{см}^2$ отвечает объём $729\ \text{см}^3$ — в точности обратная задача к парной, где отправляются от объёма.