Найдите вершину, фокус, ось симметрии и директрису параболы y² + 6y + 9 = 12 − 12x.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим полный квадрат вместо того, чтобы выделять его. Левая часть $y^2 + 6y + 9$ — это уже $(y+3)^2$, ведь $9 = (6/2)^2$. Такое наблюдение полностью избавляет от шага с выделением полного квадрата:

   $(y+3)^2 = 12 - 12x$

2. 2

   Разложим правую часть так, чтобы получился вид $4p(x-h)$. Вынесем $-12$:

   $(y+3)^2 = -12(x-1)$

   Знак здесь важен: запись $12(1-x)$ скрыла бы значение $h$.

3. 3

   Сопоставим с канонической формой параболы, раскрытой вбок. В квадрат возведён $y$, значит, парабола раскрыта вбок и имеет вид $(y-k)^2 = 4p(x-h)$. Записав $(y-(-3))^2 = -12(x-1)$, получаем $h = 1$, $k = -3$ и $4p = -12$, откуда

   $p = -3$

   Поскольку $p < 0$, парабола раскрыта влево.

4. 4

   Найдём вершину и фокус. Вершина — это $(h,k) = (1,-3)$. Для параболы, раскрытой вбок, фокус имеет координаты $(h+p,\; k)$:

   $(1 + (-3),\, -3) = (-2, -3)$

5. 5

   Укажем ось и директрису. Ось симметрии — горизонтальная прямая через вершину, $y = k = -3$. Директриса — вертикальная прямая $x = h - p = 1 - (-3) = 4$, то есть на три единицы правее вершины — с противоположной от фокуса стороны, как и должно быть.

6. 6

   Проверим одну точку по определению параболы. При $y = 3$ уравнение даёт $(3+3)^2 = 36 = -12(x-1)$, откуда $x = -2$, то есть точка $(-2, 3)$ лежит на кривой. Расстояние от неё до фокуса $(-2,-3)$ равно $6$, а до директрисы $x = 4$ равно $|-2 - 4| = 6$. Расстояния совпали.