Два одинаковых квадратных листа бумаги с диагональю 24 см наложены друг на друга так, что область перекрытия — тоже квадрат со стороной AB. Если общая покрытая площадь составляет 384 см², найдите длину AB.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем формулу площади квадрата через диагональ. Из $d=s\sqrt2$ получаем $s^2=\tfrac{d^2}{2}$, значит

   $\text{Площадь}=\frac{1}{2}(24)^2=\frac{576}{2}=288\ \text{см}^2$

   на один лист. Следует заметить, что площадь зависит от квадрата диагонали: если бы диагональ увеличилась с $12$ до $24$, площадь выросла бы в 4 раза.

2. 2

   Применяем принцип включения-исключения. Общая покрытая площадь учитывает общую часть только один раз:

   $\text{Покрыто}=\text{Площадь}_1+\text{Площадь}_2-\text{Перекрытие}$

3. 3

   Находим площадь перекрытия. Всего бумаги $288+288=576\ \text{см}^2$, но покрыто только $384\ \text{см}^2$:

   $\text{Перекрытие}=576-384=192\ \text{см}^2$

4. 4

   Вычисляем сторону перекрытия, так как это квадрат.

   $AB=\sqrt{192}\ \text{см}$

5. 5

   Упрощаем корень. Выносим наибольший полный квадрат: $192=64\times3$, а $\sqrt{64}=8$, значит

   $AB=8\sqrt3\approx13.86\ \text{см}$

   В отличие от случая с $\sqrt{78}$ при диагонали $18$ см, здесь корень упрощается красиво.

6. 6

   Проверяем разумность ответа. Сторона каждого листа $\sqrt{288}\approx16.97$ см, а $13.86<16.97$ ✓, значит перекрытие действительно помещается в лист. Доля перекрытия — $\tfrac{192}{288}=\tfrac{2}{3}$ от площади листа — большая, но вполне возможная ✓.