Два одинаковых квадратных листа бумаги с диагональю 18 см наложены друг на друга так, что область перекрытия — это тоже квадрат со стороной AB. Если общая покрытая площадь составляет 246 см², найдите длину AB.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим площадь каждого квадрата по диагонали. Для квадрата со стороной $s$ диагональ равна $d=s\sqrt2$, откуда $s^2=\dfrac{d^2}{2}$. Значит, площадь — это половина квадрата диагонали, находить сторону отдельно не требуется:

   $\text{Площадь}=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}(18)^2=\frac{324}{2}=162\ \text{см}^2$

2. 2

   Запишем формулу включения-исключения для площадей. При наложении двух фигур общая покрытая площадь учитывает область пересечения только один раз:

   $\text{Покрыто}=\text{Площадь}_1+\text{Площадь}_2-\text{Перекрытие}$

   Эта формула — ключ к решению задачи.

3. 3

   Найдём площадь перекрытия. Вместе оба листа содержат $162+162=324\ \text{см}^2$ бумаги, но покрывают только $246\ \text{см}^2$:

   $\text{Перекрытие}=324-246=78\ \text{см}^2$

   Именно эти $78\ \text{см}^2$ — дважды покрытая область.

4. 4

   Выразим сторону квадрата перекрытия через его площадь. По условию, перекрытие — это квадрат, значит, его сторона равна корню из площади:

   $AB=\sqrt{78}\ \text{см}$

5. 5

   Упростим и вычислим значение. $78=2\times3\times13$ не содержит квадратных множителей, поэтому $\sqrt{78}$ не упрощается:

   $AB=\sqrt{78}\approx8.83\ \text{см}$

6. 6

   Проверим геометрическую возможность ответа. Сторона каждого листа $\sqrt{162}\approx12.73$ см, сторона перекрытия $8.83$ см меньше — перекрытие не может превышать размер листа. Также $78<162$, то есть перекрытие меньше половины площади листа, что соответствует частичному наложению ✓.