Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный с прямым углом при вершине B. Точка H лежит на стороне AB, а точка D — на луче, противоположном лучу BC, причём BH = BD. Докажите, что DH перпендикулярно AC и что CH перпендикулярно AD.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём координаты в вершине прямого угла — именно это делает оба пункта рутинными. Так как прямой угол расположен при $B$, а катеты равны, поместить $B$ в начало координат и направить катеты по осям ничего не стоит, зато каждое условие превращается в координату:

   $B=(0,0),\quad A=(a,0),\quad C=(0,a),\qquad a>0$

   Точка $H$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $H=(t,0)$ при $0<t\le a$. Точка $D$ лежит на луче, противоположном лучу $BC$, то есть на отрицательной полуоси $y$, поэтому $D=(0,-d)$ при $d>0$. Условие $BH=BD$ означает $t=d$, откуда

   $H=(t,0),\qquad D=(0,-t)$

   Заметим, что теперь всю конфигурацию задаёт единственный параметр $t$.

2. 2

   Докажем пункт (а) через скалярное произведение. Составим два направляющих вектора:

   $\vec{DH}=H-D=(t-0,\,0-(-t))=(t,\,t),\qquad \vec{AC}=C-A=(0-a,\,a-0)=(-a,\,a)$

   Их скалярное произведение равно

   $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=t(-a)+t(a)=-at+at=0$

   Ни один из векторов не нулевой ($t>0$ и $a>0$), а нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность прямых, поэтому $DH\perp AC$.

3. 3

   Прочитаем пункт (а) заново на языке углов, чтобы увидеть, почему иначе и быть не могло. В треугольнике $BHD$ угол при вершине $B$ прямой (оси перпендикулярны), а катеты равны: $BH=BD$, значит, он прямоугольный равнобедренный и $\angle BHD=\angle BDH=45^{\circ}$. Треугольник $ABC$ тоже прямоугольный равнобедренный, поэтому $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$. Значит, прямая $DH$ пересекает прямую $BC$ под углом $45^{\circ}$, а прямая $AC$ пересекает её под углом $45^{\circ}$ с другой стороны, и два угла по $45^{\circ}$ в сумме дают $90^{\circ}$. По сути перпендикулярность — это утверждение о двух равнобедренных прямоугольных треугольниках с общей парой перпендикулярных прямых.

4. 4

   Докажем пункт (б) в тех же координатах. Теперь берём другую пару векторов:

   $\vec{CH}=H-C=(t,\,-a),\qquad \vec{AD}=D-A=(-a,\,-t)$

   Тогда

   $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=t(-a)+(-a)(-t)=-at+at=0$

   Следовательно, $CH\perp AD$. То же самое через угловые коэффициенты: $m_{CH}=\dfrac{0-a}{t-0}=-\dfrac{a}{t}$ и $m_{AD}=\dfrac{-t-0}{0-a}=\dfrac{t}{a}$, а их произведение равно $-\dfrac{a}{t}\cdot\dfrac{t}{a}=-1$ — это признак перпендикулярности прямых. Запись через угловые коэффициенты требует $t\neq 0$, а запись через скалярное произведение — нет, поэтому она чище.

5. 5

   Отметим структурную причину и проверим численно. Пункт (б) — это замаскированный ортоцентр: в треугольнике $ACD$ прямая $AB$ является высотой из вершины $A$ (она перпендикулярна $CD$, то есть оси $y$), и точка $H$ лежит на ней, а из пункта (а) следует, что $DH\perp AC$, то есть $DH$ — высота из вершины $D$; две высоты пересекаются в точке $H$, значит, и третья высота $CH$ обязана проходить через неё, откуда $CH\perp AD$. Численная проверка при $a=3.7$ и $t=1.4$ даёт ровно $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=0$ и $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=0$, а произведение угловых коэффициентов равно $-1.0$.