У многоугольника 14 диагоналей. Сколько у него сторон? Для какого многоугольника сумма внутренних углов равна сумме внешних?

Step-by-step solution

1. 1

   Выведем формулу для числа диагоналей, а не будем её запоминать. Из каждой из $n$ вершин можно провести отрезки к $n-3$ другим (не считая саму вершину и двух соседних, которые дают стороны, а не диагонали). При этом каждая диагональ считается дважды — из каждой из своих концов:

   $D=\frac{n(n-3)}{2}.$

2. 2

   Приравняем число диагоналей к 14 и решим уравнение.

   $\frac{n(n-3)}{2}=14\ \Longrightarrow\ n^{2}-3n-28=0\ \Longrightarrow\ (n-7)(n+4)=0.$

   Корни: $n=7$ и $n=-4$; многоугольник не может иметь отрицательное число сторон, значит

   $n=7\quad(\text{семиугольник}).$

3. 3

   Проверим результат. У семиугольника действительно $\tfrac{7\times 4}{2}=14$ диагоналей — совпадает.

4. 4

   Вспомним формулы для сумм углов для пункта (2). Для любого выпуклого $n$-угольника:

   $\text{сумма внутренних}=(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \text{сумма внешних}=360^\circ.$

   Сумма внешних углов удивительна: она всегда $360^\circ$ вне зависимости от числа сторон — обходя многоугольник по периметру, совершается полный оборот.

5. 5

   Приравняем суммы углов.

   $(n-2)\cdot 180=360\ \Longrightarrow\ n-2=2\ \Longrightarrow\ n=4.$

6. 6

   Запишем оба ответа с проверкой. Многоугольник с $14$ диагоналями имеет $7$ сторон, а многоугольник, у которого суммы внутренних и внешних углов совпадают, — это четырёхугольник: сумма его внутренних углов $(4-2)180=360^\circ$ совпадает с универсальной суммой внешних $360^\circ$. Заметим также, что при увеличении числа сторон на одну сумма внешних углов не меняется, а сумма внутренних увеличивается на $180^\circ$.