Два правильных шестиугольника имеют стороны в отношении 3:5. Площадь меньшего шестиугольника — 81 м². Чему равна площадь большего? Варианты: 240, 125, 135 или 225 м².

Step-by-step solution

1. 1

   Все правильные шестиугольники подобны. У правильного шестиугольника шесть равных сторон и шесть равных углов, поэтому форма полностью определяется длиной стороны — отличаться такие фигуры могут только масштабом. Это позволяет применять правила подобия; формулу площади $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ использовать не обязательно.

2. 2

   Вспомним, как изменяется площадь при подобии. Если длины увеличиваются в $k$ раз, то площади увеличиваются в $k^2$ раз, так как площадь выражается через произведение двух длин. В данном случае

   $k=\frac{\text{большая сторона}}{\text{меньшая сторона}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{large}}}{A_{\text{small}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

3. 3

   Умножим известную площадь на квадрат коэффициента подобия.

   $A_{\text{large}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{м}^2.$

   Число $9$ делится на $81$ без остатка, что подтверждает корректность выбранного пути решения.

4. 4

   Проверим через явную формулу площади. Для правильного шестиугольника со стороной $s$ $A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$. Из $81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ получаем $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$, а большая сторона $S=\tfrac53 s$, значит $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$ и $A_{\text{large}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$. Ответ совпадает, но вычислений больше.

5. 5

   Исключим неверные варианты. $135=81\cdot\tfrac53$ — это ошибка, если умножить на коэффициент подобия, а не на его квадрат. $125=5^3$ и $240$ не связаны с условиями задачи. Правильный ответ — $225\ \text{м}^2$.