Верно ли следующее утверждение: если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, то треугольники равны?

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим два понятия, которые смешаны в утверждении. Равные треугольники — это треугольники, совпадающие по форме и по размеру: их можно совместить наложением. Подобные треугольники совпадают только по форме, а их стороны пропорциональны. Только углы определяют форму, но не размер.

2. 2

   Вспомним признаки равенства треугольников. Каждый признак равенства обязательно содержит хотя бы одну сторону: это признаки по трём сторонам (ССС), по двум сторонам и углу между ними (SAS), по стороне и двум прилежащим углам (ASA, AAS), а также признак для прямоугольных треугольников (катет и гипотенуза, HL). Признака равенства по трём углам (AAA) нет — именно в этом и состоит суть вопроса.

3. 3

   Приведём контрпример. Треугольник со сторонами $3,4,5$ и треугольник со сторонами $6,8,10$ имеют одинаковые три угла (оба прямоугольные, а стороны второго вдвое больше соответствующих сторон первого). Их площади равны $6$ и $24$, то есть треугольники явно не равны.

4. 4

   Объясним, почему одни углы не определяют размер. Фиксация трёх углов задаёт только две независимые величины, так как третий угол определяется из $A+B+C=180^\circ$. Для однозначного задания треугольника (до равенства) нужно три независимых параметра, причём хотя бы один из них должен быть длиной.

5. 5

   Сформулируем верную версию утверждения. Равенство углов действительно даёт теорему — признак подобия по двум (или трём) углам: треугольники подобны, а их стороны пропорциональны. Равенство треугольников возможно только при дополнительном равенстве хотя бы одной пары соответствующих сторон. Следовательно, исходное утверждение — ложно.