В прямоугольнике ABCD треугольник BCD имеет площадь 8, а сторона BC равна 4√2. Найдите периметр прямоугольника.

Step-by-step solution

1. 1

   Связь между треугольником и прямоугольником. Диагональ $BD$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Значит, $\triangle BCD$ составляет половину площади прямоугольника:

   $[ABCD]=2\times 8=16$

2. 2

   Находим неизвестную сторону. Известно, что $BC=4\sqrt2$ — это одна из сторон, тогда

   $CD=\frac{16}{4\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}$

3. 3

   Рационализируем знаменатель. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt2$:

   $CD=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

4. 4

   Вычисляем периметр.

   $P=2\left(4\sqrt2+2\sqrt2\right)=2\left(6\sqrt2\right)=12\sqrt2$

   $\boxed{12\sqrt2\approx 16.97}$

5. 5

   Проверяем площадь по найденным сторонам. $4\sqrt2\times 2\sqrt2=8\cdot 2=16$ — совпадает с площадью прямоугольника. Проверим площадь треугольника отдельно: $\tfrac12(4\sqrt2)(2\sqrt2)=\tfrac12(16)=8$ — оба шага подтверждаются, рационализация выполнена верно.