Прямоугольный городской парк имеет размеры 30 м на 20 м. В каждом углу разбита клумба в виде четверти круга радиусом 7 м. Забор огибает оставшуюся часть как беговая дорожка. Какова длина этой дорожки?

Step-by-step solution

1. 1

   Находим периметр до срезания углов.

   $P = 2(30 + 20) = 100\ \text{м}$

   Это ответ на другой вопрос — периметр всего парка — и это вариант A, ловушка для тех, кто остановится на этом этапе.

2. 2

   Разберём, что убирается и добавляется в каждом углу. Четверть круга радиусом $7$ в углу «съедает» по $7\ \text{м}$ с каждой из двух сторон, то есть всего $7 + 7 = 14\ \text{м}$ прямого забора. Вместо этого появляется дуга четверти окружности:

   $L_{\text{arc}} = \frac14 \cdot 2\pi r = \frac{2\pi(7)}{4} = 3.5\pi\ \text{м}$

3. 3

   Вычислим длину дуги. По школьной традиции при $r = 7$ берём $\pi = \tfrac{22}{7}$, чтобы получить точный результат:

   $3.5\pi = 3.5 \times \frac{22}{7} = 11\ \text{м}$

   (Если взять истинное значение $\pi$, получится $10.9956\ \text{м}$ — разница в итоговом ответе будет менее $2\ \text{см}$.)

4. 4

   Считаем изменение на одном углу и на всех четырёх. Каждый угол теряет $14$ м и приобретает $11$ м, то есть чистая потеря $3$ м. Для четырёх углов:

   $4 \times 3 = 12\ \text{м потеряно}$

   Углы вписываются, так как $7 + 7 = 14 \le 20$, то есть не выходят за короткую сторону.

5. 5

   Вычисляем длину дорожки.

   $100 - 12 = 88\ \text{м}$

   Значит, ответ — B.

6. 6

   Проверим, сложив части напрямую. Прямые участки: $100 - 4(14) = 44\ \text{м}$. Четыре дуги: $4 \times 11 = 44\ \text{м}$. Всего $88\ \text{м}$, совпадает. Если взять истинное $\pi$, получится $44 + 4(10.99557) = 87.982\ \text{м}$, что при округлении всё равно даёт $88$ — так что выбор $\pi$ не влияет на ответ в этом тесте.