Сколько треугольников можно построить со сторонами a = 4, b = 7 и c = 11?

Step-by-step solution

1. 1

   Точно сформулируем неравенство треугольника. Три положительные длины могут быть сторонами треугольника тогда и только тогда, когда сумма любых двух из них строго больше третьей. На практике достаточно проверить сумму двух меньших сторон против самой длинной.

2. 2

   Определим наибольшую сторону и подставим значения. Наибольшая сторона — это $c=11$, и

   $4+7=11$

3. 3

   Рассмотрим случай равенства. Сумма оказалась равна, а не больше третьей стороны. При равенстве все три отрезка располагаются в одну линию: «треугольник» вырождается в отрезок с нулевой площадью и высотой. Такой вырожденный случай не считается треугольником.

4. 4

   Делаем вывод.

   $\boxed{0\ \text{треугольников}}$

5. 5

   Сравним с похожим случаем. Если заменить $b$ с $7$ на $8$, то $4+8=12>11$, и остальные проверки ($4+11>8$, $8+11>4$) также выполняются, значит, стороны $4,8,11$ действительно определяют ровно один треугольник — три фиксированные длины сторон всегда задают не более одного треугольника с точностью до равенства. В таких задачах ответ всегда $0$ или $1$; ответ $2$ возможен только в задачах типа «сторона-сторона-угол», но не «сторона-сторона-сторона».