В треугольнике ABC медиана AD проведена к стороне BC, M — середина AD. Если вектор BM = λ·вектор BA + μ·вектор BC, найти упорядоченную пару (λ, μ).

Step-by-step solution

1. 1

   Переходим к векторам положения, чтобы середины выражались как средние. Обозначим $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec M$ — векторы положения соответствующих точек. Преимущество подхода в том, что середина отрезка — это просто среднее арифметическое концов, и вся задача сводится к вычислению коэффициентов.

2. 2

   Находим D, затем M. $AD$ — медиана к $BC$, значит, $D$ — середина $BC$:

   $\vec D=\frac{\vec B+\vec C}{2}$

   $M$ — середина $AD$:

   $\vec M=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

3. 3

   Составляем вектор BM. Вычтем вектор положения точки $B$:

   $\overrightarrow{BM}=\vec M-\vec B=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C-\vec B=\frac{1}{2}\vec A-\frac{3}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

4. 4

   Записываем требуемую линейную комбинацию в тех же координатах. Поскольку $\overrightarrow{BA}=\vec A-\vec B$, $\overrightarrow{BC}=\vec C-\vec B$,

   $\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}=\lambda\vec A+\mu\vec C-(\lambda+\mu)\vec B$

5. 5

   Сравниваем коэффициенты. По коэффициенту при $\vec A$ получаем $\lambda=\tfrac12$; по коэффициенту при $\vec C$ — $\mu=\tfrac14$.

   $\boxed{(\lambda,\mu)=\left(\tfrac12,\ \tfrac14\right)}$

6. 6

   Проверяем по третьему коэффициенту. При $\vec B$ должно выполняться $-(\lambda+\mu)=-\tfrac34$, и действительно $\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$. Такая проверка важна: сумма коэффициентов при $\vec A,\vec B,\vec C$ всегда равна $0$, так как $\overrightarrow{BM}$ — разность векторов положения и не зависит от выбора начала отсчёта.