У равнобедренного прямоугольного треугольника вершины (0,0), (4,0) и (0,4). Круг радиуса 2 с центром в (2,2). Найдите общую площадь.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба множества в виде неравенств. Треугольник задаётся условиями $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le4$; круг —

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   Область пересечения — это множество точек, удовлетворяющих всем четырём условиям одновременно, поэтому каждое из трёх ограничений треугольника нужно рассмотреть по отдельности относительно круга.

2. 2

   Проверим ограничение гипотенузой. Центр $(2,2)$ удовлетворяет $2+2=4$, то есть центр лежит ровно на прямой $x+y=4$. Прямая, проходящая через центр круга, делит круг диаметром, то есть ровно пополам.

   $\text{площадь круга при }x+y\le4=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

3. 3

   Проверим ограничения катетами. Расстояние от $(2,2)$ до оси $x$ равно $2$, и до оси $y$ тоже $2$ — оба равны радиусу. Значит, круг касается обеих осей (в точках $(2,0)$ и $(0,2)$), но не пересекает их.

   Таким образом, весь круг лежит в области $x\ge0,\ y\ge0$, и катеты ничего не «отрезают».

4. 4

   Объединим три проверки. Только гипотенуза делит круг, причём ровно пополам. Пересечение — это половина круга со стороны $x+y\le4$:

   $\text{Площадь}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

5. 5

   Проверим разумность ответа. Площадь треугольника $\tfrac12(4)(4)=8$, а полный круг — $4\pi\approx12{,}57$. Пересечение $2\pi\approx6{,}283$ меньше обеих площадей и меньше половины треугольника — это согласуется с тем, что это половина круга, «прилегающая» к гипотенузе ✓.