Коэффициент подобия двух подобных многоугольников равен 2 к 3. Сравнивая меньший многоугольник с большим, найдите отношение их площадей. Варианты: 2:3, 3:2, 9:4 или 4:9.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим разные типы отношений. Коэффициент подобия — это отношение длин сторон. В задаче же требуется отношение площадей, а эти отношения совпадают только для равных фигур. Выбрать $2:3$ — типичная ловушка.

2. 2

   Поясним, почему берётся квадрат. Разобьём каждый многоугольник на треугольники. В большем многоугольнике основание и высота каждого треугольника в $\tfrac{3}{2}$ раза больше, чем в меньшем, поэтому его площадь $\tfrac12 bh$ умножается на этот коэффициент дважды:

   $\frac{\text{area}_{\text{large}}}{\text{area}_{\text{small}}}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac32 b\right)\left(\tfrac32 h\right)}{\tfrac12 bh}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

   Суммирование площадей всех треугольников сохраняет этот множитель, значит, правило верно для всего многоугольника.

3. 3

   Применим правило в нужном порядке. Поскольку требуется отношение меньшего к большему, берём коэффициент $\dfrac{2}{3}$ и возводим в квадрат:

   $\frac{A_{\text{small}}}{A_{\text{large}}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$

4. 4

   Проверим ответ среди вариантов. $2:3$ — это забыли возвести в квадрат, $3:2$ и $9:4$ — перепутан порядок, то есть сравнивается больший многоугольник с меньшим. Только $4:9$ — и квадрат, и верный порядок.

5. 5

   Запишем итог. Отношение площадей меньшего многоугольника к большему:

   $A_{\text{small}}:A_{\text{large}}=4:9$