Две концентрические окружности имеют общий центр. Длина внешней окружности — 132 дюйма, радиус внутренней — 17,5 дюйма. Найдите площадь кольца между ними, считая π равным 22/7.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим внешний радиус по длине окружности.

   $R=\frac{132}{2\pi}=\frac{132}{\frac{44}{7}}=132\cdot\frac{7}{44}=3\cdot 7=21\ \text{дюйм}.$

   При $\pi=\tfrac{22}{7}$ число $44$ делит $132$ ровно три раза, поэтому десятичные дроби не появляются.

2. 2

   Записываем площадь кольца как разность площадей двух кругов. Кольцо — это большой круг без малого:

   $A_{\text{кольца}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right).$

3. 3

   Вместо возведения в квадрат используем разность квадратов.

   $R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=(21-17.5)(21+17.5)=3.5\times 38.5.$

   Это позволяет не считать $441-306.25$ и оставляет числа небольшими — в этом смысл разложения.

4. 4

   Выполняем умножение.

   $3.5\times 38.5=134.75,$

   значит

   $A_{\text{кольца}}=\frac{22}{7}\times 134.75.$

5. 5

   Завершаем вычисление через дроби. Запишем $3.5=\tfrac72$, чтобы сократить на $7$:

   $A_{\text{кольца}}=\frac{22}{7}\cdot\frac{7}{2}\cdot 38.5=11\times 38.5=423.5\ \text{дюйм}^2.$

6. 6

   Проверяем прямым способом. $\pi R^2=\tfrac{22}{7}(441)=1386$, $\pi r^2=\tfrac{22}{7}(306.25)=962.5$; их разность $1386-962.5=423.5\ \text{дюйм}^2$ ✓.