Сберегательный счёт с годовой ставкой 3,4% и начислением процентов ежеквартально. Эшли кладёт 2000 долларов. Каков баланс через 4 года, округляя до цента?

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается формула для периодической капитализации. Так как проценты начисляются фиксированное число раз в год, используется формула $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt},$ где $P$ — сумма вклада, $r$ — годовая ставка в виде десятичной дроби, $n$ — число начислений в год, $t$ — число лет. Здесь не применяется непрерывная капитализация ($Pe^{rt}$), так как начисления происходят дискретно.

2. 2

   Аккуратно определяются все параметры. $P=2000,\qquad r=0.034,\qquad n=4,\qquad t=4.$ Важно: годовую ставку $3.4\%$ надо перевести в $0.034$, а «ежеквартально» означает $n=4$ начисления в год, поэтому показатель степени — это число кварталов, а не лет.

3. 3

   Вычисляются ставка за период и число периодов. Ставка за квартал равна $\frac{r}{n}=\frac{0.034}{4}=0.0085\quad (0.85\%\text{ за квартал}),$ а всего начислений процентов $nt=4\times 4=16\text{ кварталов}.$

4. 4

   Вычисляется множитель роста с нужной точностью. $1.0085^{16}=1.14502360738\ldots$ Здесь важна точность: если взять $1.1437$, баланс уменьшится почти на три доллара, а если $1.145$, то баланс будет занижен на несколько центов.

5. 5

   Перемножается с первоначальной суммой и округляется. $A=2000\times 1.14502360738=2290.04721476\ldots$ Округляя до цента, получаем $A=\$2{,}290.05.$ Из них \290.05$ — это начисленные проценты.

6. 6

   Проверяется результат через простые проценты. Простые проценты дали бы 2000(1+0.034\times 4)=2000\times 1.136=\2{,}272.00$. Капитализация процентов ежеквартально должна дать больший итог, и действительно, разница составляет$$18.05$— небольшой, но ожидаемый прирост для ставки$3.4%$ за четыре года.