3-летняя облигация платит ежегодный купон 80 и возвращает номинал 1 000 при погашении. Сейчас она стоит 938. Найдите доходность к погашению y, то есть решите 938 = 80/(1+y) + 80/(1+y)^2 + 1080/(1+y)^3.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем уравнение как «цена = приведённая стоимость потоков». Каждый слагаемый — дисконтированная на сегодня выплата по одной и той же неизвестной ставке $y$. В последнем слагаемом стоит $1080$, а не $80$, потому что в 3-й год выплачивается и последний купон, и номинал: $80+1000=1080$. Доходность к погашению — это как раз такая ставка дисконтирования, при которой приведённая стоимость всех выплат равна текущей цене.

2. 2

   Введём замену $x=1+y$ и избавимся от знаменателей. При $x=1+y$ уравнение принимает вид

   $938=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}$

   Умножив обе части на $x^3$, получаем кубическое уравнение:

   $938x^3-80x^2-80x-1080=0$

   Отсюда видно, почему нет простой формулы: для трёх и более периодов доходность определяется из многочлена степени $\ge 3$, который решается только численно. Тем не менее, такая замена полезна: функция становится явно убывающей по $x$ — чем выше доходность, тем ниже цена — значит, экономически осмысленный корень ровно один.

3. 3

   Ориентируемся по номиналу. Если взять $y=8\%$ (ставка купона), цена была бы

   $\frac{80}{1.08}+\frac{80}{1.08^2}+\frac{1080}{1.08^3}=74.07+68.59+857.34=1000.00$

   то есть ровно номинал. На деле облигация торгуется по $938<1000$, то есть с дисконтом, значит доходность должна быть выше $8\%$. Уже этот шаг показывает, в какую сторону искать корень, до всякого подбора.

4. 4

   Ограничим корень двумя пробами. Пробуем $y=10\%$ ($x=1.10$):

   $\frac{80}{1.10}+\frac{80}{1.21}+\frac{1080}{1.331}=72.7273+66.1157+811.4200=950.2630$

   Цена всё ещё выше $938$, значит доходность должна быть больше. Пробуем $y=11\%$ ($x=1.11$):

   $\frac{80}{1.11}+\frac{80}{1.2321}+\frac{1080}{1.367631}=72.0721+64.9298+789.6867=926.6886$

   Теперь цена ниже $938$. Корень заключён между $10\%$ и $11\%$.

5. 5

   Интерполируем и уточняем. Линейная интерполяция между двумя ценами даёт первую оценку:

   $y\approx 0.10+0.01\cdot\frac{950.2630-938}{950.2630-926.6886}=0.10+0.01\cdot\frac{12.2630}{23.5744}=0.1052$

   Один-два шага по методу Ньютона для $f(x)=\frac{80}{x}+\frac{80}{x^2}+\frac{1080}{x^3}-938$ уточняют решение до

   $x=1.1051578\quad\Longrightarrow\quad y=0.1051578$

6. 6

   Проверим ответ обратным расчётом цены. При $y=10.51578\%$:

   $\frac{80}{1.1051578}+\frac{80}{1.1051578^2}+\frac{1080}{1.1051578^3}=72.3879+65.5000+800.1121=938.00$

   Цена воспроизводится до копейки, значит $y\approx 10.52\%$. Если же взять округлённую оценку, например $10.3\%$, цена получится около $943.1$ — более чем на пять рублей выше — поэтому важно именно зажать корень в интервале, а не останавливаться на первом «похожем» значении.