Упростите булево выражение S = A·B·C + A·B·C, где точка — это И (AND), а плюс — ИЛИ (OR).

Step-by-step solution

1. 1

   Читаем знаки как логику, а не как арифметику. В булевой алгебре $\cdot$ — это И, а $+$ — ИЛИ. Ни одна переменная здесь не инвертирована (черты отрицания нет ни над одной буквой), поэтому оба конъюнктивных члена одинаковы: это один и тот же минтерм $A\cdot B\cdot C$.

2. 2

   Определяем нужный закон. Для операции ИЛИ закон идемпотентности гласит:

   $X+X=X$

   Он верен потому, что ИЛИ спрашивает «истинно ли хотя бы одно?» — задать тот же вопрос дважды ничего не добавляет. Оба возможных значения это подтверждают: $0+0=0$ и $1+1=1$.

3. 3

   Применяем его при X = A·B·C.

   $S=A\cdot B\cdot C+A\cdot B\cdot C=A\cdot B\cdot C$

4. 4

   Сравниваем с обычной алгеброй, где ответ был бы другим. В арифметике $x+x=2x$. В булевой алгебре двойки просто нет — значений всего два, $0$ и $1$, причём $1+1=1$, а не $2$. Запись $2ABC$ здесь лишена смысла.

5. 5

   Проверяем таблицей истинности. Перебирая все восемь наборов $(A,B,C)$, видим, что выражение $A\!\cdot\!B\!\cdot\!C+A\!\cdot\!B\!\cdot\!C$ в каждой строке равно $A\!\cdot\!B\!\cdot\!C$ ✓ — выход равен $1$ только при $A=B=C=1$ и равен $0$ в остальных семи строках.

6. 6

   Отмечаем практический смысл. В схеме неупрощённая форма потребовала бы двух одинаковых трёхвходовых элементов И, подключённых к элементу ИЛИ; упрощённая обходится одним элементом И, а элемент ИЛИ не нужен вовсе. Поиск повторяющихся минтермов — первый шаг любого сокращения числа вентилей, и заодно такое дублирование часто выдаёт опечатку в исходном выражении, которую стоит проверить до сборки схемы.