Застряли на этом? Решите с помощью ИИ
Chemistry · real student question

Сила притяжения между ионами Mg²⁺ и S²⁻ равна 1,49·10⁻⁸ Н. Радиус аниона 0,184 нм, радиус катиона 0,065 нм. При n = 8 найти полную потенциальную энергию, когда ионы соприкасаются.

Question

Сила притяжения между ионом Mg2+\mathrm{Mg^{2+}} и ионом S2−\mathrm{S^{2-}} составляет 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}. Радиус аниона равен 0.184 nm0.184\ \mathrm{nm}, радиус катиона — 0.065 nm0.065\ \mathrm{nm}.

Пусть показатель Борна n=8n=8. Требуется вычислить полную потенциальную энергию EnetE_{\text{net}} при соприкосновении ионов.

Step-by-step solution

  1. Определим расстояние между центрами ионов при контакте. Поскольку ионы «соприкасаются», расстояние между их центрами равно сумме радиусов, это и есть равновесное расстояние r0r_0:

    r0=0.065+0.184=0.249 nm=2.49×10−10 m.r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.

  2. Вычислим коэффициент притяжения из заданной силы. Кулоновская сила притяжения записывается как F=Ar2F=\dfrac{A}{r^2}, где A=k ∣z1z2∣e21A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1} включает все константы. Вместо подстановки значений, AA можно сразу найти по измеренной силе:

    A=Fr02=(1.49×10−8)(2.49×10−10)2=9.24×10−28 J⋅m.A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.

  3. Запишем выражение для полной энергии по модели Борна. Притяжение и короткодействующее отталкивание дают:

    Enet=−Ar+Brn,E_{\text{net}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},

    где отталкивающий член быстро возрастает при уменьшении rr (здесь n=8n=8) и предотвращает схлопывание ионов.

  4. Используем условие равновесия для исключения BB. В точке r=r0r=r_0 энергия минимальна, поэтому dEdr=0\dfrac{dE}{dr}=0:

    Ar02−nBr0 n+1=0 ⟹ B=A r0 n−1n.\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.

    Подставляя это обратно, получаем простое выражение:

    Enet=−Ar0+Anr0=−Ar0(1−1n).E_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).

    Поэтому BB вычислять не требуется: при равновесии вклад отталкивания всегда равен 1/n1/n от притяжения.

  5. Подставим численные значения. При n=8n=8 скобка равна 78\tfrac78:

    Ar0=9.24×10−282.49×10−10=3.71×10−18 J,Enet=−78(3.71×10−18)≈−3.25×10−18 J.\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{net}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.

    Отрицательный знак указывает на устойчивую связанную пару ионов.

  6. Проверим согласованность исходных данных с законом Кулона. При z1=+2z_1=+2, z2=−2z_2=-2, k=8.988×109k=8.988\times 10^{9} и e=1.602×10−19 Ce=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}:

    F=k (2e)(2e)r02=1.488×10−8 N,F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},

    что совпадает с указанным 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}, значит, исходные данные согласованы.

Answer

Enet=−Ar0(1−1n)≈−3.25×10−18 JE_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions