Пусть A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7}, C = {3, 4, 6, 9, 10} и D = {1, 2, 3, 7, 8, 9}. Найдите A ∪ B, B ∪ C, C ∪ D, A ∩ B, C ∩ D и D ∩ A.

Step-by-step solution

1. 1

   Уточняем оба определения, прежде чем считать. Множество $A\cup B$ («объединение») содержит все элементы, входящие в $A$ или в $B$, или в оба сразу, причём каждый выписывается один раз. Множество $A\cap B$ («пересечение») содержит только те элементы, что входят в оба множества. Полезная привычка — записывать ответ по возрастанию: так сразу заметен пропущенный или повторённый элемент.

2. 2

   Считаем три объединения. Сливаем списки и убираем повторы:

   $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

   $B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\}$

   $C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\}$

   Обратите внимание: $5$ входит и в $A$, и в $B$, но в $A\cup B$ записывается лишь однажды.

3. 3

   Находим A ∩ B. Сверяем $A=\{2,4,5,6\}$ с $B=\{1,3,5,7\}$: в обоих встречается только $5$.

   $A\cap B=\{5\}$

4. 4

   Находим C ∩ D. У множеств $C=\{3,4,6,9,10\}$ и $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ общими являются $3$ и $9$.

   $C\cap D=\{3,9\}$

5. 5

   Находим D ∩ A. У множеств $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ и $A=\{2,4,5,6\}$ общий только $2$. Пересечение коммутативно, поэтому $D\cap A=A\cap D$.

   $D\cap A=\{2\}$

   $\boxed{A\cup B=\{1,\ldots,7\},\ B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\},\ C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\},\ A\cap B=\{5\},\ C\cap D=\{3,9\},\ D\cap A=\{2\}}$

6. 6

   Проверяем каждую пару формулой включений-исключений. $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$. Для $A$ и $B$: $4+4-1=7$ ✓. Для $C$ и $D$: $5+6-2=9$ ✓. Для $B$ и $C$: $|B\cap C|=|\{3\}|=1$, поэтому $4+5-1=8$ ✓. У всех трёх объединений размеры совпали с предсказанными.