Найдите все целые x, для которых x mod 7 = 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим запись на язык деления с остатком. Запись $x\bmod7=6$ означает: при делении $x$ на $7$ остаток равен $6$. В языке сравнений это $x\equiv6\pmod7$. Заметим, что $6$ — допустимый остаток, поскольку $0\le6<7$: остаток всегда меньше делителя.

2. 2

   Записываем $x$ через неполное частное и остаток. По теореме о делении с остатком любое целое $x$ единственным образом представимо в виде $x=7k+r$ с $0\le r<7$, где $k$ — неполное частное. Условие $r=6$ даёт

   $x=7k+6,\qquad k\in\mathbb{Z}$

3. 3

   Выписываем несколько решений. При $k=0,1,2,3$:

   $x=6,\ 13,\ 20,\ 27,\ \ldots$

   Отрицательные $k$ тоже годятся: при $k=-1$ получаем $x=-1$, ведь $-1=7(-1)+6$ и остаток действительно равен $6$ ✓. Соседние решения отличаются ровно на $7$.

4. 4

   Проверяем напрямую. $13\div7=1$, остаток $6$ ✓; $20\div7=2$, остаток $6$ ✓; $27\div7=3$, остаток $6$ ✓. Формула $x=7k+6$ сверена с исходным условием для всех $x$ от $0$ до $199$ ✓.

5. 5

   Отмечаем равносильные формулировки. Так как $6\equiv-1\pmod7$, то же множество можно описать как целые числа, на единицу меньшие кратного 7, то есть $x=7m-1$. Оба описания задают одно и то же множество: $\{\ldots,-1,6,13,20,\ldots\}$. Решений бесконечно много, поэтому никакое одно число ответом быть не может.