Найдите наибольший общий делитель p = 3³ × 5⁴ × 7⁵ × 11 и q = 3 × 5³ × 7⁴. Ответ дайте в показательной форме.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что числа уже разложены на простые множители. И $p$, и $q$ сразу даны в виде произведения степеней простых чисел. Это и есть основное удобство задачи: обычно при поиске НОД самое трудоёмкое — разложить числа на простые множители, но тут это уже сделано, поэтому перемножать или заново разлагать не нужно. Например, $p = 3^3\times5^4\times7^5\times11 = 3{,}119{,}799{,}375$, и обратно разложить такое число было бы бессмысленно.

2. 2

   Вспомним правило для НОД в показательной форме. НОД — это наибольшее число, на которое делятся оба числа. Простое число в степени $r^k$ делит $p$ только если $k$ не больше показателя $r$ в $p$, и делит $q$ только если $k$ не больше показателя в $q$. Поэтому для каждого простого берём наименьший из двух показателей:

   $\text{НОД} = \prod_r r^{\min(a_r,\,b_r)}$

3. 3

   Составим таблицу показателей для каждого простого числа. Для каждого простого числа выпишем его показатель в $p$ и $q$, если простое отсутствует — ставим $0$:

   простое	в $p$	в $q$	меньшее
   $3$	$3$	$1$	$1$
   $5$	$4$	$3$	$3$
   $7$	$5$	$4$	$4$
   $11$	$1$	$0$	$0$

4. 4

   Аккуратно рассмотрим простое число 11. Здесь часто допускают ошибку. $11$ есть только в $p$, а в $q$ его нет, значит, его показатель в $q$ равен $0$, и $\min(1,0)=0$. Так как $11^0=1$, множитель $11$ полностью исчезает из НОД — в НОД не может входить простое, которое есть только у одного из чисел.

5. 5

   Запишем ответ в показательной форме.

   $\text{НОД}(p,q) = 3^1 \times 5^3 \times 7^4 = 3 \times 5^3 \times 7^4$

6. 6

   Проверим делением. Если перемножить, получится $3\times125\times2401 = 900{,}375$. Проверим делимость: $q \div 900{,}375 = 1$ — проще заметить, что $q = 3\times5^3\times7^4 = 900{,}375$ ровно, то есть НОД совпадает с $q$. Это логично: каждый показатель в $q$ не больше соответствующего в $p$, значит, $q$ делит $p$, и $900{,}375$ делит оба числа.