Рациональные vs иррациональные числа

Рациональные и иррациональные — две половины действительных чисел: каждое действительное число является ровно одним из них.

Рациональные числа

Действительное число рационально, если его можно представить как $\frac{p}{q}$, где $p, q$ — целые числа и $q \neq 0$.

Десятичная характеристика: у рациональных чисел десятичная запись либо конечна ($0.25 = \frac{1}{4}$), либо в итоге периодична ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$. Несмотря на плотность (между любыми двумя рациональными есть ещё одно рациональное), рациональные числа счётны — той же мощности, что и $\mathbb{N}$.

Иррациональные числа

Не могут быть представлены как отношение целых чисел. Десятичная запись бесконечна и непериодична.

Известные иррациональные числа:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (золотое сечение) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

Множество иррациональных чисел несчётно — строго больше рациональных, хотя рациональные плотны.

Почему это важно

• Иррациональность $\sqrt{2}$ была знаменитым пифагорейским открытием (по легенде, Гиппас был утоплен за его разглашение).
• Иррациональность $\pi$ означает, что его нельзя записать в виде дроби.
• Десятичная запись $1/7 = 0.\overline{142857}$ — длина периода не превышает $q - 1$.

Как проверить

Если у вас есть число, спросите:

• Десятичная запись конечна → рациональное.
• Десятичная запись повторяется с явным периодом → рациональное.
• Десятичная запись продолжается без повторения (например, $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → иррациональное.

Алгебраические проверки используют замкнутость: рациональные числа замкнуты относительно $+, -, \times, /$ (кроме 0). Сумма двух иррациональных может быть рациональной (например, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).