Прямая vs обратная пропорциональность

Прямая пропорциональность и обратная пропорциональность — две простейшие нетривиальные зависимости между переменными и основа для понимания более сложных моделей.

Прямая пропорциональность: y = kx

Две величины прямо пропорциональны, если $y = k x$ для некоторой ненулевой константы $k$ (коэффициент пропорциональности).

• Когда $x$ удваивается, $y$ удваивается.
• Когда $x$ уменьшается вдвое, $y$ уменьшается вдвое.
• График проходит через начало координат с наклоном $k$.

Примеры: путь vs время при постоянной скорости ($d = v t$), закон Гука ($F = k x$), простая оплата труда ($\text{оплата} = \text{ставка} \cdot \text{часы}$).

Обратная пропорциональность: y = k/x

Две величины обратно пропорциональны, если $y = k/x$.

• Когда $x$ удваивается, $y$ уменьшается вдвое.
• При $x \to \infty$ имеем $y \to 0$.
• График — гипербола, которая никогда не пересекает оси.

Примеры: закон Бойля (давление × объём = константа при постоянной температуре), время при фиксированной работе ($t = \text{расстояние} / v$), варианты закона Ома.

Как определить по данным

Постройте $y$ против $x$. Если точки лежат на прямой через начало координат — прямая пропорциональность. Если они лежат на убывающей к нулю гиперболе — обратная. Или проверьте, постоянно ли $\frac{y}{x}$ (прямая) либо постоянно ли $xy$ (обратная).

Совместная и комбинированная пропорциональность

• Совместная пропорциональность: $y = kxz$ (две прямые переменные).
• Комбинированная: $y = kx/z$ (одна прямая, одна обратная). Пример: сила тяготения $F = G m_1 m_2 / r^2$ — прямая по массам, обратная квадрату расстояния.

Вывод

Определяйте по вопросу «когда одно растёт, другое растёт или убывает, и в каком отношении?» Прямая → обе движутся вместе; обратная → противоположное направление с обратным отношением.