Призмы и параллелепипеды

Куб

$V = s^3$

Сторона в кубе. Куб со стороной $s$ замощается $s^3$ единичными кубами — трёхмерный аналог аргумента с единичным квадратом.

Прямоугольный параллелепипед

$V = l \cdot w \cdot h$

Длина × ширина × высота. Площадь основания $l w$ , $h$ слоёв дают $lwh$ .

Произвольная призма

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

Площадь основания × высота. По принципу Кавальери призмы с одинаковым сечением и высотой имеют равный объём — треугольные, шестиугольные, наклонные используют одну формулу.

Пирамиды, конусы и усечённые тела

Пирамида (общая)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

Одна треть соответствующей призмы. «Одна треть» появляется при интегрировании $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ от 0 до $h$ — сечение линейно сужается.

Конус

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

Та же «треть», что и у пирамиды, основание $\pi r^2$ . Три равных конуса заполняют ровно один цилиндр.

Усечённый конус

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

Два параллельных круга радиусов $R$ (низ) и $r$ (верх), высота $h$ . Получается вычитанием малого конуса из большого; член $Rr$ — из разности кубов.

Цилиндры

Цилиндр

$V = \pi r^2 h$

Частный случай произвольной призмы: круглое основание $\pi r^2$ выстроено на высоту $h$ . Наклонные цилиндры используют ту же формулу по Кавальери.

Полый цилиндр (труба)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

Объём внешнего цилиндра минус объём внутреннего — приём вычитания, как у кольца, в трёхмерном виде.

Шары и эллипсоиды

Шар

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

Знаменитое $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Результат Архимеда: объём шара ровно $\tfrac{2}{3}$ объёма описанного вокруг него наименьшего цилиндра.

Полушар

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

Половина шара — ровно половина $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Полезно для куполов, чаш и интегрирования.

Эллипсоид

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

Три полуоси $a, b, c$ . При $a = b = c = r$ получаем шар $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ — шар это частный случай эллипсоида.

Тор (бублик)

$V = 2\pi^2 R r^2$

Большой радиус $R$ (от центра до оси трубы), малый радиус $r$ (труба). Теорема Паппа: площадь $\pi r^2$ , описывающая круг длиной $2\pi R$ .

Объём Formulas