2D-фигуры — периметр и площадь

Квадрат

$P = 4s,\quad A = s^2$

Все четыре стороны равны.

Прямоугольник

$P = 2l + 2w,\quad A = l \cdot w$

Длина × ширина.

Треугольник (общий)

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Основание × высота ÷ 2.

Треугольник (формула Герона)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s=\tfrac{a+b+c}{2}$

Площадь только по трём сторонам — полезно, когда высота не задана.

Параллелограмм

$A = b h$

Так же, как у прямоугольника (наклон не меняет площадь).

Трапеция

$A = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2) h$

Среднее параллельных сторон × высота.

Окружность

$C = 2\pi r,\quad A = \pi r^2$

Длина окружности и площадь по радиусу.

Правильный многоугольник (n сторон)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ = периметр, $a$ = апофема (расстояние от центра до стороны).

3D-фигуры — объём

Куб

$V = s^3$

Сторона в кубе.

Прямоугольный параллелепипед

$V = l \cdot w \cdot h$

Объём коробки.

Цилиндр

$V = \pi r^2 h$

Площадь круга × высота.

Конус

$V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$

Одна треть цилиндра с тем же основанием и высотой.

Шар

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

Знаменитое «четыре третьих пи эр в кубе».

Пирамида (квадратное основание)

$V = \tfrac{1}{3} s^2 h$

То же правило одной трети, что и у конуса.

3D-фигуры — площадь поверхности

Куб

$SA = 6 s^2$

Шесть одинаковых граней.

Прямоугольный параллелепипед

$SA = 2(lw + lh + wh)$

По две грани каждого типа.

Цилиндр

$SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Два круглых основания + боковая стенка.

Шар

$SA = 4\pi r^2$

Ровно в четыре раза больше круга того же радиуса.

Конус

$SA = \pi r^2 + \pi r \ell,\ \ell=\sqrt{r^2+h^2}$

Основание + боковая поверхность; $\ell$ — образующая.

Прямоугольный треугольник / Пифагор

Теорема Пифагора

$a^2 + b^2 = c^2$

Прямоугольный треугольник: катеты $a, b$ ; гипотенуза $c$ .

Формула расстояния

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Теорема Пифагора, применённая к координатам.

Специальные прямоугольные треугольники

$30°-60°-90°: 1 : \sqrt{3} : 2$

Соотношения сторон, которые можно назвать без вычислений.

Специальные прямоугольные треугольники

$45°-45°-90°: 1 : 1 : \sqrt{2}$

Равнобедренный прямоугольный треугольник.

Углы и окружности

Сумма углов треугольника

$A + B + C = 180°$

Всегда.

Сумма углов многоугольника

$S = (n - 2) \cdot 180°$

Выпуклый $n$ -угольник.

Вписанный угол

$\theta_{\text{inscribed}} = \tfrac{1}{2}\theta_{\text{central}}$

Вписанный угол = половина центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Длина дуги

$s = r\theta$

Радианы. Длина дуги на окружности радиуса $r$ .

Площадь сектора

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Кусок пирога. Радианы.

Аналитическая геометрия

Середина отрезка

$M = \bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\bigr)$

Среднее координат.

Угловой коэффициент между двумя точками

$m = \tfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Изменение по вертикали к изменению по горизонтали.

Уравнение окружности

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Центр $(h, k)$ , радиус $r$ .

Геометрия Formulas

2D-фигуры — периметр и площадь

Квадрат

Прямоугольник

Треугольник (общий)

Треугольник (формула Герона)

Параллелограмм

Трапеция

Окружность

Правильный многоугольник (n сторон)

3D-фигуры — объём

Куб

Прямоугольный параллелепипед

Цилиндр

Конус

Шар

Пирамида (квадратное основание)

3D-фигуры — площадь поверхности

Куб

Прямоугольный параллелепипед

Цилиндр

Шар

Конус

Прямоугольный треугольник / Пифагор

Теорема Пифагора

Формула расстояния

Специальные прямоугольные треугольники

Специальные прямоугольные треугольники

Углы и окружности

Сумма углов треугольника

Сумма углов многоугольника

Вписанный угол

Длина дуги

Площадь сектора

Аналитическая геометрия

Середина отрезка

Угловой коэффициент между двумя точками

Уравнение окружности

Try the formulas in our free solvers