Четырёхугольники — формулы площади

Квадрат

$A = s^2$

Сторона в квадрате. Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, поэтому $A = l\cdot w$ превращается в $s^2$ .

Прямоугольник

$A = l \cdot w$

Длина × ширина. Аргумент мощения единичными квадратами: прямоугольник с целыми сторонами $l\times w$ содержит ровно $lw$ единичных квадратов.

Параллелограмм

$A = b \cdot h$

Основание × перпендикулярная высота — не наклонная сторона. Отрежьте треугольник с одного конца и переместите на другой: параллелограмм превращается в прямоугольник.

Ромб

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Половина произведения диагоналей: они пересекаются под прямым углом в серединах, разбивая ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Трапеция

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Среднее двух параллельных сторон $a,b$ умножить на высоту $h$ . Склейте две копии «голова к хвосту» — получится параллелограмм с основанием $a+b$ .

Дельтоид

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Та же формула произведения диагоналей, что и для ромба — дельтоид это более общая фигура, у которой диагонали по-прежнему перпендикулярны.

Треугольники — по тому, что задано

Основание и высота

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Половина основания × высота — для любого треугольника. Две копии образуют параллелограмм с основанием $b$ и высотой $h$ .

Формула Герона (три стороны)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

Применяйте, когда заданы только три стороны и нет высоты. $s$ — полупериметр.

Две стороны и угол между ними

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Опустите высоту из третьей вершины: её длина $a\sin C$ , что даёт стандартное $\tfrac{1}{2}\cdot\text{осн.}\cdot\text{выс.}$ .

Равносторонний треугольник

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Частный случай SAS при $a=b$ и $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ даёт константу $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Круги и криволинейные фигуры

Круг

$A = \pi r^2$

$\pi r^2$ . Получается интегрированием длины окружности $2\pi r$ по $r$ от 0 (метод луковых колец).

Сектор круга

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Угол $\theta$ в радианах. Доля $\theta / (2\pi)$ от полной площади круга $\pi r^2$ .

Кольцо (аннулюс)

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Площадь внешнего круга минус площадь внутреннего — отверстие учитывается вычитанием.

Эллипс

$A = \pi a b$

Большая полуось $a$ × малая полуось $b$ × $\pi$ . При $a = b = r$ получаем $\pi r^2$ : круг — это эллипс с равными полуосями.

Правильные многоугольники и координаты

Правильный n-угольник

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ — периметр, $a$ — апофема (расстояние от центра до стороны). Разбейте на $n$ равных треугольников и формула следует сама.

Правильный шестиугольник

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Правильный шестиугольник состоит ровно из 6 равносторонних треугольников со стороной $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Координаты (формула шнурков)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Подставьте координаты вершин $(x_i, y_i)$ по порядку, замкнув цикл ( $x_{n+1}=x_1$ ). Работает для любого простого многоугольника — без триангуляции.

Площадь Formulas