Умножение матриц это операция, которая движет линейной алгеброй, компьютерной графикой, машинным обучением и физическими симуляциями. И всё же большинство студентов заучивают её как механический рецепт и так и не понимают, почему она определена именно так. Это руководство даёт вам и рецепт, и интуицию.

Сначала правило размерностей

Прежде чем что-либо вычислять, проверьте размерности. Чтобы перемножить $A \cdot B$ :

$A$ должна иметь форму $m \times n$
$B$ должна иметь форму $n \times p$
Результат $AB$ имеет форму $m \times p$

Внутренние размерности должны совпадать ( $n = n$ ); внешние размерности становятся формой результата.

Если вы попытаетесь умножить матрицу $3 \times 4$ на $5 \times 2$ , операция не определена — никакая арифметика вас не спасёт.

Рецепт «строка на столбец»

Элемент $(i, j)$ матрицы $AB$ это скалярное произведение строки $i$ матрицы $A$ со столбцом $j$ матрицы $B$ :

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Разобранный пример

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Вычисляем $AB$ :

$(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
$(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
$(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
$(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Итак, $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ .

Почему умножение определено именно так?

Матрицы представляют линейные отображения между векторными пространствами. Если $A$ отображает из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$ , а $B$ отображает из $\mathbb{R}^p$ в $\mathbb{R}^n$ , то $AB$ должно быть композицией этих отображений. Правило «строка на столбец» это в точности то, что порождает композицию. Рецепт не произволен — он вытекает из требования, чтобы $AB$ кодировало «сначала применить $B$ , затем применить $A$ ».

Свойства (и не-свойства!)

Свойство	Выполняется?
$A(BC) = (AB)C$ ассоциативность	Да
$A(B + C) = AB + AC$ дистрибутивность	Да
$AB = BA$ коммутативность	Нет, в общем случае
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ или $B = 0$	Нет

Некоммутативность это самая большая мысленная перестройка по сравнению со скалярной арифметикой.

Типичные ошибки

Складывают вместо умножения произведения строка-столбец (нужно делать и то, и другое — перемножить попарно, затем сложить).
Меняют порядок проверки размерностей — должно быть $(m \times n)(n \times p)$ , а не $(n \times m)(n \times p)$ .
Предполагают коммутативность — $AB$ может быть даже не определено, если определено $BA$ .

Попробуйте с ИИ-решателем матриц

Введите любую пару матриц в Калькулятор матриц, чтобы получить полностью показанные вычисления строка за строкой.

Умножение матриц: пошаговое руководство с разобранными примерами

Как на самом деле работает умножение матриц — правила размерностей, рецепт «строка на столбец», типичные ошибки и связь с линейными отображениями.