两张全等的正方形纸片对角线都是 28 cm，重叠部分是一个正方形。若覆盖的总面积是 720 平方厘米，求重叠正方形的边长。

Step-by-step solution

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   先由对角线求出一张纸片的面积。

   $A=\frac{d^2}{2}=\frac{28^2}{2}=\frac{784}{2}=392\ \text{cm}^2$

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   把两张纸片的面积相加。 这样一来，重叠部分被算了两遍：

   $392+392=784\ \text{cm}^2$

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   结合题给的覆盖面积，用容斥原理。

   $|A\cap B|=784-720=64\ \text{cm}^2$

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   由面积求出重叠正方形的边长。

   $s=\sqrt{64}=8\ \text{cm}$

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   验算，并说说这类题什么时候会失灵。 每张纸片的边长是 $\tfrac{28}{\sqrt2}\approx 19.8$ cm，远大于 $8$ cm $\checkmark$，而且 $784-64=720$ $\checkmark$。只有当差值 $\tfrac{d^2}{2}\cdot 2-|A\cup B|$ 恰好是完全平方数时，这个方法才会给出整数边长：比如取 $d=24$、覆盖面积 $528$，重叠面积是 $48$，它的平方根是无理数，那组数据就不可能有整数答案。