两张全等的正方形纸片，每张的对角线都是 14 厘米。它们重叠后公共部分仍是一个正方形。若覆盖的总面积是 160 平方厘米，求重叠部分的边长。

Step-by-step solution

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   先由对角线求出一张纸的面积。 对角线为 $d$ 的正方形，边长是 $\tfrac{d}{\sqrt2}$，所以面积为

   $A=\left(\frac{d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{d^2}{2}$

   代入 $d=14$：

   $A=\frac{196}{2}=98\ \text{cm}^2$

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   把两张纸的面积相加，此时重叠部分被数了两遍。 把两张纸摞在一起，它们的面积之和是

   $98+98=196\ \text{cm}^2$

   但重叠的那块区域在两张纸里各被算了一次。

3. 3

   用容斥原理把重叠部分分离出来。 实际覆盖的面积就是并集：

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   $160=196-|A\cap B|\quad\Longrightarrow\quad|A\cap B|=36\ \text{cm}^2$

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   把重叠面积换算成边长。 题目说重叠部分是正方形，所以它的边长就是面积的算术平方根：

   $s=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$

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   检查几何上是否自洽。 每张纸的边长是 $\tfrac{14}{\sqrt2}\approx 9.9$ cm，而重叠部分的边长 $6$ cm 比它小，本来就该如此 $\checkmark$。倒推一遍：$196-36=160$ $\checkmark$。