Calculadora de Derivada Parcial

Uma derivada parcial mede como uma função multivariável varia em relação a uma variável mantendo as outras fixas. Para $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

A notação $\partial$ (d cursivo) distingue derivadas parciais das derivadas ordinárias $\frac{d}{dx}$. Notações equivalentes incluem $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Significado geométrico: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ é a inclinação da superfície $z = f(x,y)$ em $(a,b)$ na direção $x$ — a reta tangente está no plano $y = b$.

Por que isso importa: o gradiente descendente, a otimização, a propagação de erros e a maior parte do cálculo vetorial se apoiam em derivadas parciais. O gradiente $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ aponta na direção de maior crescimento.

Regra 1: Trate as Outras Variáveis como Constantes

Para encontrar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trate $y, z, \ldots$ como constantes e derive $f$ como uma função de uma variável de $x$.

Exemplo: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (o $3y$ desaparece pois não tem $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ atua como coeficiente)

Regra 2: A Regra da Cadeia e do Produto Ainda se Aplicam

Para $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

O $y$ dentro do parêntese é tratado como coeficiente constante ao derivar $xy$ em relação a $x$.

Parciais de Ordem Superior

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Teorema de Clairaut (parciais mistas): se $f$ tem segundas parciais contínuas, então $f_{xy} = f_{yx}$. A ordem de diferenciação não importa.

Gradiente e Derivada Direcional

O gradiente é o vetor de todas as primeiras parciais:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

A derivada direcional na direção $\mathbf{u}$ (vetor unitário) é:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Maximizada quando $\mathbf{u}$ aponta ao longo de $\nabla f$ — esta é a direção de maior crescimento.

Regra da Cadeia (Multivariável)

Se $z = f(x, y)$ e $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Derivar a variável errada: sempre identifique qual variável está 'ativa' e quais são mantidas constantes. Sublinhar a variável ativa no rascunho ajuda.
• Esquecer a regra da cadeia: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, não apenas $\cos(xy)$.
• Confundir a notação: $f_{xy}$ significa derivar primeiro em relação a $x$, depois $y$ (alguns livros invertem isso — verifique a convenção).
• Direção errada do gradiente: $\nabla f$ aponta na direção de maior crescimento, não de movimento. Para minimizar, mova-se na direção oposta a $\nabla f$.
• Misturar derivadas parciais e totais: quando $x$ e $y$ ambos dependem de $t$, use a regra da cadeia — não $\partial f/\partial t$, que é zero se $f$ não tiver $t$ explícito.