Calculadora de Transformada de Laplace

A transformada de Laplace converte uma função do tempo $f(t)$ em uma função de frequência complexa $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

A transformada é definida para $s$ em algum semiplano direito $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ onde a integral converge.

Por que isso é útil: a transformada de Laplace converte a diferenciação em multiplicação por $s$, transformando EDOs lineares com coeficientes constantes em equações algébricas em $s$. Você resolve a parte algébrica, depois aplica a transformada de Laplace inversa para obter a resposta no domínio do tempo.

As transformadas de Laplace também lidam com entradas descontínuas e impulsivas (funções degrau, deltas de Dirac) de forma elegante, o que as torna indispensáveis na teoria de controle, no processamento de sinais e na engenharia elétrica.

Pares Básicos de Transformada

Memorize a tabela central:

Propriedades Principais

Linearidade:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Primeiro Deslocamento (deslocamento em s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

É assim que $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Diferenciação no domínio de $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

Isto é o que converte EDOs em álgebra: derivadas se tornam polinômios em $s$ multiplicados por $F(s)$, com as condições iniciais incorporadas.

Multiplicação por $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Transformada de Laplace Inversa

Dado $F(s)$, encontre $f(t)$ tal que $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Técnicas padrão:

1. Frações parciais: decomponha $F(s)$ em partes racionais simples que correspondam à tabela.
2. Completar o quadrado: para formatos $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, reescreva como $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ para corresponder à entrada de seno deslocado da tabela.
3. Consultar e combinar usando a linearidade.

Resolvendo EDOs com Laplace

Para $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Aplique Laplace: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Resolva para $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, então $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (após simplificação).
3. Inverta: $y(t) = t e^{-t}$.

Limpo e mecânico — o mesmo problema com variação de parâmetros leva o dobro do trabalho.

• Esquecer as condições iniciais: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Pular $f(0)$ é o erro mais comum de todos.
• Sinal errado no deslocamento em s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, não $F(s + a)$. O sinal importa.
• Tratamento incorreto de descontinuidades: para entradas degrau, use a função degrau unitário $u(t-a)$ e o teorema do deslocamento no tempo $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Transformada inversa sem frações parciais: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ não inverte diretamente — decomponha primeiro.
• Confundir $F(s)$ com $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ é a transformada, $f(t)$ é o original. Sempre termine problemas de EDO de volta no domínio do tempo.